师：同学们，大家好！今天这节课我们要共同学习人教版九年级下册第27章第二节相似三角形的第四课时。同学们，到目前为止，我们学过哪些判定三角形相似的方法呢？首先，从定义来看，如果两个三角形的对应角相等，对应边的比也相等，那么这两个三角形相似。
紧接着，我们学习了用平行法证明相似，即平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似。在平行法证明相似过程中，常遇到两类基本图形：A型图和X型图。上节课，我们类比全等三角形的判定，得出了相似三角形的两个判定。类比边边边定理可知，如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；类比边角边定理可知，如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。那还有其他证明三角形相似的方法吗？全等三角形中的角边角以及角角边定理能给我们什么启发呢？本节课我们继续探究。
请同学们观察这两副三角尺，同样角度的两个三角尺，比如含30度角的两个三角尺，大小可能不同，但看起来相似。那么，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？我们可以画图研究一下。请同学们在纸上画两个三角形，分别为△ABC和△A'B'C'，使∠A = ∠A'，∠B = ∠B'。那它们的第三个角∠C和∠C'是什么关系？相等吗？边又有什么关系呢？请你们分别度量这两个三角形的边长，并计算AB与A'B'、BC与B'C'、CA与C'A'的比值，看看有什么发现。
老师用几何画板也做了这样两个三角形，其中∠A = ∠A' = 40°，∠B = ∠B' = 60°，而且△A'B'C'的大小可以任意变换。根据三角形内角和为180°，很容易得出∠C = ∠C' = 80°。
下面，我们利用几何画板的测量功能，分别测出△ABC和△A'B'C'的三边长，并计算出对应边的比值。我们发现，虽然△A'B'C'的大小在变化，但两个三角形三组对应边的比值始终保持相等。通过上面的实验，不难发现，如果两个三角形两组角对应相等，那么这两个三角形可能相似，于是我们有了以下猜想。下面我们尝试证明。
已知，如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A = ∠A'，∠B = ∠B'。求证：△ABC ∽ △A'B'C'。该怎么证明呢？还记得课前复习的A型图和X型图吗？如果我们将△A'B'C'平移到如图位置，使A'点与A点重合，射线A'B'与射线AB重合。因为∠A = ∠A'，所以射线A'C'必定和射线AC重合。又因为∠B = ∠B'，所以平移后的B'C'与BC平行，就形成了前面所说的A型图。于是，△A'B'C'与△ABC就是相似的。
其实，我们不必真的平移，只需在AB上截取AD，使AD = A'B'的长度，再过D点作DE∥BC交AC于E点。这样构造出来的△ADE既与△ABC相似，又与△A'B'C'全等，就完成了本命题的证明。同学们可以尝试写一下证明过程。
下面是具体证明过程：在△ABC的边AB上截取AD = A'B'，过点D作DE∥BC交AC于点E，则△ADE ∽ △ABC。因为DE∥BC，根据两直线平行同位角相等，所以∠ADE = ∠B。又因为∠B = ∠B'，所以∠ADE = ∠B'。结合∠A = ∠A'，AD = A'B'，根据角边角定理，可得△ADE ≌ △A'B'C'。因为△ADE与△ABC相似，所以△ABC ∽ △A'B'C'。当然，解决这个问题不止这一种方法，刚才我们用A型图证明，其实还可以构造X型图。在BA的延长线上截取AD = A'B'，过D作DE∥BC交CA延长线于E点，这样就构造出了X型图。此时，△ADE仍然与△ABC相似，也与△A'B'C'全等。请看下面具体证明过程：
在△ABC的边BA的延长线上截取AD = A'B'，过点D作DE∥BC交CA延长线于点E，则△ADE ∽ △ABC。因为DE∥BC，根据两直线平行内错角相等，所以∠ADE = ∠B。因为∠B = ∠B'，所以∠ADE = ∠B'。因为∠CAB = ∠A'，且∠CAB与∠DAE是对顶角，所以∠DAE = ∠A'。结合AD = A'B'，就得到了角边角的条件。因此，△ADE ≌ △A'B'C'，所以△ABC ∽ △A'B'C'。同样，这个问题也解决了。
通过以上探究，我们得到了利用两角判定三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似。对于△ABC和△A'B'C'来说，因为∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，所以△ABC ∽ △A'B'C'。下面，我们用今天学的定理来解决以下问题。
例1，如图，在△ABC和△DEF中，∠A = 40°，∠B = 80°，∠E = 80°，∠F = 60°。求证：△ABC ∽ △DEF。由前面学的定理可知，要证明两个三角形相似，需两组对应角分别相等。题目中已给出∠B = ∠E = 80°，所以只需再找出一组对应角相等。在△ABC中，∠A = 40°，∠B = 80°，根据三角形内角和为180°，可得∠C = 180° - ∠A - ∠B = 60°。而在△DEF中，∠E = 80°，∠F = 60°，这样就得到了两组角对应相等，即∠B = ∠E，∠C = ∠F，所以△ABC ∽ △DEF。