师：亲爱的同学，你们好，很高兴和大家一起分享今天的数学课堂。上课前，请大家准备好本节课的学习用品，现在让我们开始吧。人们很早就懂得使用一些工具来节省力气，比如用吊杆汲水，用长棍撬沉重的石头。这些工具为什么能节省力气呢？这让正在留学的阿基米德特别感兴趣。他仔细观察、努力撬动石头，发现手的握点到支点的这段距离越长就越省力气。平时挑东西的时候，若杠杆上两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡。后来人们把它归纳为杠杆原理，用数学语言表达就是：阻力乘以阻力臂等于动力乘以动力臂，示意图如右图所示。
阿基米德发现这个原理之后非常得意，豪情满怀地说：“给我一个支点，我可以撬动地球。”这就是古希腊的阿基米德——力学之父，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家。当然，这只是阿基米德先生的一首“狂想曲”，现实生活中是不可能实现的。但是其中所蕴含的杠杆原理却是物理学中一颗闪亮的明珠，给我们的生产生活带来很大帮助。所以今天这节课，老师就和大家一起来探索杠杆原理中的数学问题。
请看例题，小伟利用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200牛和0.5米，动力f与动力臂l有怎样的函数关系？请按下屏幕中的暂停键并思考一下。我们来分析一下，本题中出现了哪些量？阻力臂、动力臂，哪些是已知的？哪些是未知的？阻力和阻力臂是已知量，分别为1200牛和0.5米。动力和动力臂是未知的，它们之间有关系吗？有关系，根据阿基米德的杠杆原理，就有动力乘以动力臂等于阻力乘以阻力臂。我们只需要把阻力为1200牛和阻力臂为0.5米的具体数值代入杠杆原理，即f×l = 1200×0.5 = 600 。两个变量的乘积是个定值，根据反比例函数定义，f与l的函数关系式为f = $\frac{600}{l}$。请大家尝试一下写出具体的过程。
具体的过程可以这样写：根据杠杆原理f×l = 1200×0.5，所以f关于l的函数关系式为f = $\frac{600}{l}$。其中杠杆原理是我们分析题目中动力臂、阻力臂这些量的理论依据，建议大家做题时不要省略。让我们继续研究。
第二小题，当动力臂为1.5米时，撬动石头至少需要多大的力？请点击暂停键并思考一下。
我们分析一下，当动力臂为1.5米时，也就是l = 1.5米，我们代入函数解析式f = $\frac{600}{l}$，得到f = $\frac{600}{1.5}$ = 400牛，此时杠杆平衡，因此撬动石头至少需要400牛顿的力。具体的解题过程如下：解，当l = 1.5米时，f = $\frac{600}{1.5}$ = 400牛，对于函数f = $\frac{600}{l}$，当l = 1.5米时，f = 400牛，此时杠杆平衡，因此撬动石头至少需要400牛的力。让我们继续研究第三小题。
第三小题，若想使动力f不超过题中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少呢？请思考一下。
我们分析下，本题题目不长，但涉及的关系却有点复杂。我们可以这样想，题目中有两个熟悉的字眼“动力臂”，它们的关系是f = $\frac{600}{l}$，它的函数图像我们知道在第一象限，f随着l增大而减小。题目中第二问所用的力应该等于400牛，此时它对应的动力臂l = 1.5米。400牛的一半，也就是f = 200牛，此时所对应的动力臂l = 3米。如何理解“不超过题中所用力的一半”，即小于等于200牛。根据反比例函数的性质，在每个象限内f随着l增大而减小，所以l是大于等于3米。当然，我们也可以通过计算来分析。
当f = 200牛时，它对应的力臂l = 3米，f≤200牛，它对应的范围应该是l≥3米，所以此时我们只需要用3米减去1.5米等于1.5米，也就是说所求的最少加长的数值。具体的解题过程可以这样写：解，当f = 400×$\frac{1}{2}$ = 200牛时，200 = $\frac{600}{l}$，得到l = 3米，3 - 1.5米 = 1.5米。对于函数f = $\frac{600}{l}$，当l＞0时，l越大，f越小。因此，若想用力不超过400牛的一半，则动力臂至少要加长1.5米。
在这里希望大家性质要运用正确，能用反比例函数来解释在我们使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力吗？通过刚才的分析，我们很容易得出：由杠杆原理可知，当阻力和阻力臂一定时，动力与动力臂呈反比例关系，动力随着动力臂的增大而减小，所以动力臂越长也就越省力。阿基米德能撬动地球吗？让我们来算一算。假定地球重量的近似值为6×$10^{25}$牛顿，也即阻力，阿基米德有500牛顿的力量，阻力臂为2000千米。请你帮助阿基米德设计该用多长的动力臂的杠杆才能把地球撬动。思考一下。
我们可以这样想，先换算单位，2000千米 = 2×$10^{6}$米。根据杠杆原理可知，f×l = 6×$10^{25}$×2×$10^{6}$ = 1.2×$10^{32}$米，变形得f = $\frac{1.2×10^{32}}{l}$。当f = 500牛顿时，代入函数解析式，l = $\frac{1.2×10^{32}}{500}$ = 2.4×$10^{29}$米。所以阿基米德至少要用2.4×$10^{29}$米的动力臂的杠杆才能把地球撬动。
通过刚才的例题分析，对于用函数解决实际问题，我们有了更深的认识。让我们简单小结一下。以刚才例题为例，撬动石头这一杠杆问题，我们分析题目中的动力臂、阻力臂，根据杠杆原理，我们得到动力与动力臂成反比例函数关系y = $\frac{k}{x}$，再根据反比例函数的图像或者性质来解决具体问题。在前面两个课时的例题中，实际上也经历了这么一个过程，现在让我们来练习一下吧。