师：同学们好。这节课我们一起来学习初中数学人教版九年级下册第26章第一节反比例函数的第二课时——反比例函数的图像与性质。在上新课之前，我们先来回顾一下：一次函数y = KX + b（k ≠ 0）的图像是什么呢？
生：一条直线。
师：二次函数y = AX2 + BX + c（a ≠ 0）的图像呢？
生：是一条抛物线。
师：如图，我们已经画出了一次函数和二次函数的图像。我们知道画函数图像采用的是描点法，请同学们再想一想，用描点法画函数图像的步骤简单来说是哪三步？
生：列表、描点、连线。
师：上节课我们已经学习了反比例函数，它的解析式为y = $\frac{k}{x}$（k ≠ 0）。老师很想知道它的图像是什么样的，这节课我们就一起来探讨一下反比例函数的图像与性质。活动一，尝试画出反比例函数y = $\frac{6}{x}$与y = $\frac{12}{x}$的图像。第一步列表的关键就是要确定好自变量x的取值范围。首先请同学们思考一下，对于反比例函数，我们的自变量取值要注意哪些问题呢？
生：因为x在分母的位置，要注意x不为0。由x不为0，x就可以大于0，也可以小于0。
师：为了美观，我们自变量的取值要对称，最好取一些相反数。还有吗？
生：为了描点准确，在确定自变量时最好要方便自己计算。
师：在考虑到这几个问题之后，我们一起来确定以上两个函数x的值。它们可以分别取±1，±2，±3，±4，±6，±12。因为x可以取无数个值，我们不可能列举完，所以左右两边可以用省略号去表示。好，接下来的时间交给你们，请同学们在学习任务单上完成这个表格。
（同学们完成表格后）
师：请核对一下你的答案。我们一起来观看一下画反比例函数图像的过程吧。第二步是描点，描点要准确。第三步是连线，我们应该用平滑的曲线连线，这里提醒大家注意一下，连线不能有明显的端点哦。画完之后我们还要注意在旁边标注相应的解析式。刚刚我们已经画出了这两个反比例函数的图像，由图像我们再来看看这两个函数有什么性质呢。观察图像，回答以下问题。第一个问题，这两个函数的图像会不会与两坐标轴相交？它们是什么形状？
生：因为x在分母的位置，所以x不可能为0，那么点的横坐标不为0，图像与y轴不可能相交。因为分子不为0，所以y也不可能为0，点的纵坐标不是0，也就是说图像与x轴不会相交。这两个函数图像与两坐标轴永远都不会相交。从图像中可以看出，它们都是由两个分支组成，并且每个分支都是曲线，这样的图像被命名为双曲线。
师：第二个问题，每个函数的图像分别位于哪些象限呢？
生：在第一和第三象限。
师：问题三，在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？
生：在第一象限内，图像是呈下降的趋势，也就是说y随着x的增大而减小。在第三象限也是呈下降的趋势，y随着x的增大也是减小，所以在每一个象限内，y随着x的增大而减小。
师：你能用解析式来说明理由吗？我们以y = $\frac{6}{x}$为例。
生：比如说在第一象限内，当x = 1时，y = 6；当x = 2时，y = 3；当x = 3时，y = 2。x取正数时，随着x的增大，y在逐渐减小。再看x取负数的情况，也就是图像在第三象限的部分。当x = -3时，y = -2；x = -2时，y = -3；x = -1时，y = -6。随着x的增大，y的值也减小。从列举的数值来看，在每一个象限内y随着x的增大而减小。
师：我再追问一个问题，我们能不能直接说y随着x的增大而减小呢？请同学们按下暂停键思考这个问题。
（同学们思考后）
师：我们一起来看看刚刚举的例子，仔细观察可以发现，当x取负数时，y为负数。当x为正数时，y为正数。x由负数变为正数是增大的，而对应的y也是由负数变为正数是增大的，并不符合刚刚所探究的结论。由此可得，对于反比例函数，它的图像是两支曲线，一定要在每一个象限内去看它的增减情况。活动2，对于反比例函数y = $\frac{k}{x}$（k > 0），你能得到同样的结论吗？同学们用2分钟的时间先独立思考这个问题。
（同学们思考后）
师：根据反比例函数的解析式，我们能画出如下这个图像。从函数图像可以得到两个结论：一、函数图像位于第一、第三象限；二、在每一个象限内，y随着x的增大而减小。你能用函数解析式来说明这个结论吗？
生：由上节课的学习，我们知道反比例函数的解析式可以变形为xy = k，当k > 0时，xy的值必定是同号的。而横纵坐标同号的点是在第一和第三象限，进而得到了这些结论。
师：刚刚的探讨过程，我们是通过研究两个具体的反比例函数的图像与性质，进一步分析得到一般解析式的结论。这个过程用到了我们数学中的由特殊到一般的数学思想。回顾前面，我们利用函数图像从特殊到一般研究反比例函数k > 0的性质的过程。你能用类似的方法研究反比例函数k < 0时的图像与性质吗？请同学们按暂停键在学习任务单上画出y = -$\frac{6}{x}$和y = -$\frac{12}{x}$的图像。
（同学们画完图像后）
师：请同学们核对一下自己画的图像，留意下这几个方面。你画的两个函数图像是否都是两个分支，是否都是曲线？还要注意图像不能与两个坐标轴相交，不要忘了把解析式写在旁边，你画对了吗？下面我们继续通过图像来研究函数的性质，观察图像，回答问题。第一个问题，这两个函数的图像会不会与两坐标轴相交？它们是什么形状？
生：这个问题跟前面类似，这两个函数图像与两个坐标轴永远不会相交，只是无限接近两坐标轴，图像是双曲线。
师：第二个问题，每个函数的图像分别位于哪些象限？
生：它们都位于第二和第四象限。
师：问题三，在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？
生：在第二象限我们可以看到图像是呈上升的趋势，也就是y随着x的增大而增大。在第四象限也是如此，呈上升的趋势。
师：你能用解析式来说明理由吗？
生：我们可以从表格中取到一些值，当x取负数时，y随着x的增大而增大。当x取正数时，y也是如此的变化规律。x取负数时，图像是在第二象限；x取正数时，图像在第四象限。综上，我们可以得到在每一个象限内，y随x的增大而增大。从表格中也可以看出，当x取负数时，y都为正数。当x取正数时，y都为负数。从第二象限到第四象限，x的值由负变正再变大，而y的值由正变负再减小，不符合探究的结论。所以一定要注意，对于这两个函数，也是在每一个象限内讨论y随x的变化情况。活动，对于反比例函数y = $\frac{k}{x}$（k < 0），你能得出怎样的结论呢？
生：由k < 0，我们得到这样一个图像，由图像可以得到以下结论：图像位于第二和第四象限。在每一个象限内，y随x的增大而增大。
师：你能用函数解析式来解释下这个结论吗？
生：将反比例函数变形为xy = k，k < 0时，xy的值都是异号的，横纵坐标异号的点是在第二和第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大。
师：到这里，我们已经将两种情况的反比例函数的图像与性质进行了学习与分析。请同学们小结下你们的学习成果，在任务单上完成这个表格。大致图像如图所示，图像所在位置：当k > 0时，图像在第一、第三象限；当k < 0时，图像在第二、第四象限。图像的变化趋势：当k > 0时，在每一个象限内y随x的增大而减小；当k < 0时，在每一个象限内y随x的增大而增大。在叙述图像变化趋势时，同学们有没有强调是在每一个象限内，这个可千万不能忘记呢。
接下来是我们的巩固提高环节。
师：一，请指出下面的图像中哪一个是反比例函数的图像？
生：由反比例函数的图像是双曲线可以得出答案是c。
师：第二题，已知函数y = $\frac{k}{x}$的图像经过点(2, 3)。下列说法正确的是，请同学们认真审题，争取选出正确的选项。
生：图像经过点(2, 3)，所以k = 6。函数的解析式为y = $\frac{6}{x}$，k > 0时的反比例函数图像是在第一和第三象限。
师：分析完题目，我们再来看看四个选项。a选项y随x的增大而增大。一看就是错的，因为在描述增减性时一定要强调在每一个象限内，而且k > 0时，在每一个象限内y是随着x的增大而减小。b选项函数图像只在第一象限，也不对，应该是在第一和第三象限。c选项当x < 0时，必有y < 0。如图，当x < 0时，图像在第三象限y < 0，表述正确。d选项点(-2, -3)不在此函数的图像上，怎么判断呢？我们可以把x = -2代入解析式中，得y = -3与这个点的纵坐标一致，所以该点是在此函数的图像上。本题的正确选项是c。
师：第三题是一道综合题，已知K? < 0 < K?，则函数y = K?X和y = $\frac{K?}{x}$的图像大致是？
生：y = K?X是正比例函数，它的图像是一条经过原点的直线。因为K? < 0，正比例函数的图像经过第二和第四象限。因为K? > 0，反比例函数的图像在第一、第三象限，所以正确的答案是d选项。
师：这3道题你是不是做全对了呢？如果有错误，你一定要真正弄明白错误原因，这样才会有进步。好，这节课我们已经接近尾声了，请同学们静思下，通过这节课的学习，你有哪些收获？可以从以下三个方面进行思考：一、画反比例函数图像时要注意什么问题？二、反比例函数的性质是什么？为什么要强调在每一个象限内函数的变化规律？三、本节课用到了哪些数学思想方法？对于以上三个方面，我的想法是：第一个问题，画函数图像时要注意图像无限接近于两坐标轴，但永不相交。第二个问题，反比例函数的性质我们在表格中已经总结过，相信同学们已经掌握得很好了。之所以要强调在每一个象限内研究函数的变化规律，是因为反比例函数的图像是分开的两支曲线。本节课用到了三种数学思想方法，分别是分类讨论、数形结合、由特殊到一般的数学思想方法。在研究反比例函数的图像与性质时，我们分为了k > 0和k < 0两种情况，这是分类讨论思想；用图像来研究函数的性质是数形结合思想；由几个具体的反比例函数的图像与性质，得出y = $\frac{k}{x}$（k ≠ 0）的函数图像与性质，这是由特殊到一般的数学思想。
本节课的课后作业：基础题有3道，教材第6页练习题26.1第3题、第8题。提高题一道：反比例函数y = $\frac{2m - 1}{x}$的图像如图所示。若点A(-1, B?)，点B(-2, B?)是该函数图像上的两点。一、比较B?与B?的大小；二、求m的取值范围。请同学们课后认真完成作业。听课很重要，课后的习题巩固也不能落下哦。本节课就上到这里，同学们再见。