师：同学们，大家好，很荣幸能和大家一起学习数学课。今天我们要学习高中数学北京师范大学出版社高一年级必修5第三章第三节第一课的基本不等式。
我们知道，对于任意实数(t)，(t^{2}\geq0)。若令(t = x - y)，便可得到新的不等式，即((x - y)^{2}\geq0)。将平方展开，有(x^{2} + y^{2} - 2xy\geq0)，移项可得(x^{2} + y^{2}\geq2xy)。这个不等式中，左侧是(x)的平方加上(y)的平方，右侧是它们乘积的两倍，对于任意实数(x)、(y)都成立。
我们不妨看看(x)、(y)非负时的情形，将这里的(x^{2})看作(a)，(y^{2})看作(b)，那么非负实数(x = \sqrt{a})，(y = \sqrt{b})。代入上面的不等式可得：(a + b\geq2\sqrt{a}\cdot\sqrt{b})，即(a + b\geq2\sqrt{ab})。由换元过程可知，(a\geq0)，(b\geq0)，也就是(a)、(b)为非负数。
下面请同学们想一想，这里的等号何时取到呢？在((x - y)^{2}\geq0)中，一方面当(x = y)时取得等号，另一方面当(x\neq y)时，这里恒大于(0)，即仅有(x = y)时，等号成立。因此，当且仅当(x = y)时，(x^{2} + y^{2} = 2xy)。而对于(a + b\geq2\sqrt{ab})，当且仅当(a = b)时，等号成立。
如果将这个不等式的两边同时除以(2)，便可得出(\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab})。观察这个不等式，它的左边(\frac{a + b}{2})可以理解为(a)、(b)这两个数的平均数，还可以用前面学过的数列知识理解为(a)、(b)两个数的等差中项。实际上，(\sqrt{ab})也具有多种不同的含义。在后面的学习过程中，这个不等式是我们证明许多不等式的基础，称之为基本不等式。
基本不等式的内容为：如果(a)、(b)都是非负实数，那么(\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab})，当且仅当(a = b)时，等号成立。
对于这个不等式我们如何证明呢？首先想到做差法。因为(a)、(b)都是非负实数，(\frac{a + b}{2} - \sqrt{ab} = \frac{a - 2\sqrt{ab} + b}{2})，这里的(a)是非负实数，可以看作((\sqrt{a})^{2})，(b)也是非负实数，可以看作((\sqrt{b})^{2})。因此该式中的分子可以配方为((\sqrt{a} - \sqrt{b})^{2})，比较容易得出做差后的结果是大于等于(0)的，即(\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab})。从这里的完全平方也可以看出，当且仅当(\sqrt{a} = \sqrt{b})，也就是当且仅当(a = b)时，等号成立。
同学们还有其他不同的证法吗？要证明(\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab})，只需证(a + b\geq2\sqrt{ab})，只需证(a + b - 2\sqrt{ab}\geq0)，最后也是落脚到((\sqrt{a} - \sqrt{b})^{2}\geq0)这个不等式上。我们整理如下：由(a)、(b)都是非负实数，((\sqrt{a} - \sqrt{b})^{2}\geq0)，展开得(a - 2\sqrt{ab} + b\geq0)，移项既有(a + b\geq2\sqrt{ab})，两边同时除以(2)，即可得(\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab})。从完全平方式也可以看出来，当且仅当(a = b)时，等号成立。
在这个不等关系中，(\frac{a + b}{2})表示的是(a)、(b)的平均数，(\sqrt{ab})也是(a)、(b)在某种意义上的平均。为了区分，我们将(\frac{a + b}{2})称为(a)、(b)的算术平均数，(\sqrt{ab})称为(a)、(b)的几何平均数。因此，基本不等式又称均值不等式。将基本不等式用文字语言叙述为：两个非负实数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
从数列的角度来看，(\frac{a + b}{2})表示了非负实数(a)、(b)的等差中项，(\sqrt{ab})联想到了两个数的等比中项。由于等比数列中不能出现(0)，且两个正数的等比中项有正负一对，因此我们将(a)、(b)限定为两个正数，(\sqrt{ab})既可以看作这两个正实数的正的等比中项，(\frac{a + b}{2})就是这两个正实数的等差中项。从这个角度，基本不等式又可以叙述为：两个正实数的等差中项不小于它们正的等比中项。
实际上，基本不等式具有更直观的几何解释。如图，(AB)是圆(O)的直径，(C)为直径上一点，(AC = a)，(CB = b)，过点(C)作(CD)垂直于(AB)，交上半圆于点(D)。根据这个图形，我们可以得出(OD)和(CD)满足关系(OD\geq CD)。为了更清晰地看到两者的大小，请同学们观察，当(C)点移动过程中何时有(OD = CD)？
我们发现，当且仅当(C)与(O)重合的时候，(CD)为最大值，此时(CD)长等于(OD)长，即当且仅当(C)与(O)重合时，(OD = CD)。从图形我们也可以看出，(OD)为圆的半径，长度为(\frac{a + b}{2})，(CD)的长即为(\sqrt{ab})。如何得到的呢？我们来推导一下。在圆中直径(AB)所对的圆周角为直角，在直角三角形(ABD)中，(DC)垂直于(AB)，由射影定理或者三角形(ACD)与(DCB)相似，也可以得出(CD^{2} = AC\times BC)，即等于(ab)，从而得出(CD = \sqrt{ab})。借助于几何图形(OD\geq CD)，即可得出(\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab})，当且仅当(C)与(O)重合，即(a = b)时，等号成立。
这里我们借助几何图形直观地呈现出(\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab})。在该图中，(OD)即为圆的半径，(DC)可以看作过(C)点垂直于(AB)的弦的一半。因此得到基本不等式的一种几何解释为：圆中的半径长大于等于半弦长。若将(OD)和(CB)放到直角三角形(ABD)中来看，(OD)便可看作斜边(AB)上的中线，(DC)垂直于(AB)便可看作斜边上的高线。由此得到了基本不等式的另一种几何解释为：在直角三角形中，斜边上的中线长大于等于斜边上的高线长。