师：同学们好，很高兴今天和大家一起继续学习一元二次不等式的解法，现在开启我们的数学探究之旅。首先看这个问题：解不等式(5X + 6 > -X2)。原不等式等价于(X2 + 5X + 6 > 0)。对(X2 + 5X + 6)进行因式分解，可得((X + 2)(X + 3) = 0)，它的两根是(X? = -3)，(X? = -2)。画出函数(y = X2 + 5X + 6)的图像，观察图像能写出不等式(5X + 6 > -X2)的解集为((-\infty, -3) \cup (-2, +\infty))。
我们回顾刚才的解题过程，第一步把不等式转化成标准的一元二次不等式，即化标；第二步通过因式分解或求根公式求出方程的根；第三步画出二次函数的图像；第四步根据图像写出不等式的解集。这就是解一元二次不等式的基本步骤：化标、求根、画图、写解集。请同学们按照这个基本步骤完成课本上的例6。设(A)、(B)分别是不等式(3X2 + 6 \leq 19X)与(-2X2 + 3X + 5 > 0)的解集。
我们要去求集合(A)与(B)的交集和并集，首先得把集合(A)和集合(B)求出来，而要求出这两个集合，就需要解出这两个不等式的解集。接下来大家可以借助数轴求出两个集合的交集与并集。由(3X2 + 6 \leq 19X)，可得到(3X2 - 19X + 6 \leq 0)，这就化成了标准的一元二次不等式。通过因式分解求出方程的两个根(X? = \frac{1}{3})，(X? = 6)，画出函数(y = 3X2 - 19X + 6)的图像，通过观察图像，可写出不等式(3X2 + 6 \leq 19X)的解集为([\frac{1}{3}, 6])，即集合(A)已求出。那么同学们自己动手把集合(B)解出来。同理可得不等式(-2X2 + 3X + 5 > 0)的解集(B)为((-1, \frac{5}{2}))。大家都做对了吗？如果有问题，课后再算一遍。这样就能得出(A \cap B = [\frac{1}{3}, \frac{5}{2}))，(A \cup B = (-1, 6])。同学们观察一下例6中给的两个一元二次不等式，它们的系数有什么特点？
发现这里面给的不等式的系数都是整数，如果把系数改成字母，还能按照上面的解题步骤来做吗？带着这个疑问，我们来看课本上例7：解关于(X)的不等式(X2 - (2M + 1)X + M2 + M < 0)。
例7给的这个不等式是标准的一元二次不等式，我们可以通过因式分解求出方程的两个根，(X? = M)，(X? = M + 1)，画出函数的图像，通过观察图像，能得到不等式的解集为((M, M + 1))。例7中含参数的一元二次不等式解法变了吗？比较后会发现例7中含有参数的一元二次不等式在解法上和例6是一样的，解法本质没变。那么含有参数的一元二次不等式以后解的时候都不变吗？带着这个疑问，我们来看变式一：解关于(X)的不等式(X2 + (1 - M)X - M > 0)。
这个不等式是标准的一元二次不等式，通过因式分解求出方程的两个根，(X? = -1)，(X? = M)。(X?)和(X?)的大小确定吗？因为题目没给(M)的范围，(M)与(-1)的大小不确定。既然大小不确定，想画出函数(y = X2 + (1 - M)X - M)的图像就比较困难，所以接下来要对(M)与(-1)的大小进行讨论。
当(M > -1)时，根据图像可求出不等式的解集为((-\infty, -1) \cup (M, +\infty))；当(M = -1)时，图像与(X)轴只有一个交点，不等式的解集为((-\infty, -1) \cup (-1, +\infty))；当(M < -1)时，(X? < X?)，利用图像可直接写出不等式的解集为((-\infty, M) \cup (-1, +\infty))。
综上所述，原不等式的解集为：当(M > -1)时，(X \in (-\infty, -1) \cup (M, +\infty))；当(M = -1)时，(X \in (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty))；当(M < -1)时，(X \in (-\infty, M) \cup (-1, +\infty))。比较例7与变式一，发现了什么？我们发现它们的解法本质相同，都是按照化标、求根、画图、写解集的步骤，不同的是变式一中方程的两个根大小不确定，采用了分类讨论的方法，这样就得到了含参数的一元二次不等式分类讨论的一个标准：两根的大小关系。
我们继续研究变式：解关于(X)的不等式(X2 - X + M > 0)。
令(X2 - X + M = 0)，方程的根(X? = \frac{1}{2} - \sqrt{1 - 4M})，(X? = \frac{1}{2} + \sqrt{1 - 4M})。能直接说(X? < X?)并画出函数(y = X2 - X + M)的图像，进而写出不等式的解集为((-\infty, \frac{1}{2} - \sqrt{1 - 3M}) \cup (\frac{1}{2} + \sqrt{1 - 3M}, +\infty))吗？这样做不对，错在哪呢？因为(1 - 4M)与(0)的大小关系不确定，所以要对(\Delta)（(\Delta = 1 - 4M)）进行讨论。下面看正确解法。
首先(\Delta = 1 - 4M)，当(\Delta > 0)，即(M < \frac{1}{4})时，方程的根(X? = \frac{1}{2} - \sqrt{1 - 4M})，(X? = \frac{1}{2} + \sqrt{1 - 4M})，因为(X? < X?)，可求出不等式的解集为((-\infty, \frac{1}{2} - \sqrt{1 - 4M}) \cup (\frac{1}{2} + \sqrt{1 - 4M}, +\infty))；当(\Delta = 0)，即(M = \frac{1}{4})时，方程两根都是(\frac{1}{2})，通过图像可写出不等式的解集为((-\infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, +\infty))；当(\Delta < 0)，即(M > \frac{1}{4})时，函数的图像在(X)轴上方，不等式的解集为(R)。由此得到含参数的一元二次不等式分类讨论的另一个标准：(\Delta)的符号。是否分类讨论以及怎样分类讨论是由问题的本质决定的。下面看变式3：解关于(X)的不等式(MX2 - 2X + 1 > 0)。
在这个不等式中，二次项系数含有参数(M)，(M)可能大于(0)、小于(0)或等于(0)，所以要对(M)进行讨论。当(M = 0)时，不等式变为(-2X + 1 > 0)，解得(X \in (-\infty, \frac{1}{2}))。当(M > 0)时，该不等式是标准的一元二次不等式，(\Delta = 4 - 4M)，接下来对(\Delta)进行讨论。当(\Delta > 0)，即(0 < M < 1)时，(X? = \frac{1 - \sqrt{1 - M}}{M})，(X? = \frac{1 + \sqrt{1 - M}}{M})，因为(X? < X?)，根据图像可写出不等式的解集为((-\infty, \frac{1 - \sqrt{1 - M}}{M}) \cup (\frac{1 + \sqrt{1 - M}}{M}, +\infty))；当(\Delta = 0)，即(M = 1)时，根据图像可写出不等式的解集为((-\infty, 1) \cup (1, +\infty))；当(\Delta < 0)，即(M > 1)时，函数的图像恒在(X)轴上方，不等式的解集为(R)。当(M < 0)时，该不等式不是标准的一元二次不等式，要解这个不等式，先在不等式两边同乘(-1)，转化成(-MX2 + 2X - 1 < 0)，此时(\Delta = 4 - 4M > 0)。利用求根公式求出(X? = \frac{1 - \sqrt{1 - M}}{M})，(X? = \frac{1 + \sqrt{1 - M}}{M})。因为(1 - \sqrt{1 - M} > 0)，(1 + \sqrt{1 - M} > 0)，且(M < 0)，所以(X? > X?)，根据函数的图像可求出不等式的解集为((\frac{1 + \sqrt{1 - M}}{M}, \frac{1 - \sqrt{1 - M}}{M}))。
综上所述，当(M < 0)时，(X \in (\frac{1 + \sqrt{1 - M}}{M}, \frac{1 - \sqrt{1 - M}}{M}))；当(M = 0)时，(X \in (-\infty, \frac{1}{2}))；当(0 < M < 1)时，(X \in (-\infty, \frac{1 - \sqrt{1 - M}}{M}) \cup (\frac{1 + \sqrt{1 - M}}{M}, +\infty))；当(M = 1)时，(X \in (-\infty, 1) \cup (1, +\infty))；当(M > 1)时，(X \in R)。解这个题时，先对(M)进行讨论，(M)是二次项系数，接着又对(\Delta)进行讨论，从而得到含参数的一元二次不等式分类讨论的第三个标准：二次项的系数。通过这三个变式，我们得到了含参数一元二次不等式分类讨论的三个标准。含参数的一元二次不等式与不含参数的一元二次不等式在解法上实质一样，含参数的一元二次不等式往往伴随着分类讨论，其标准与以下因素有关：一、二次项的系数；二、(\Delta)的符号；三、根的大小关系。在分类讨论中要注意标准明确，逐级讨论，不能重复和遗漏。
我们已经学习了含参数的一元二次不等式的解法，大家掌握了吗？一起到随堂检测中试试吧。随堂检测一：解关于(X)的不等式(X2 - (M + M2)X + M3 < 0)，这个不等式是标准的一元二次不等式，通过因式分解求出方程的两个根，(X? = M)，(X? = M2)。(M)与(M2)的大小关系不确定，接下来要对(M)与(M2)进行讨论。当(M < M2)，即(M < 0)或(M > 1)时，画出函数的图像，观察图像可写出不等式的解集为((M, M2))；当(M = M2)，即(M = 0)或(M = 1)时，函数的图像在(X)轴上方或与(X)轴重合，不等式的解集为空集；当(M > M2)，即(0 < M < 1)时，观察图像可得不等式的解集为((M2, M))。
综上所述，当(M < 0)或(M > 1)时，不等式的解集为((M, M2))；当(M = 0)或(M = 1)时，原不等式的解集为空集；当(0 < M < 1)时，不等式的解集为((M2, M))。随堂检测二：已知不等式(AX2 + BX + C < 0)（(A \neq 0)）解集是空集，问(A)和(\Delta)应该满足什么条件？
题目给出不等式的解集，让我们求参数(A)、(B)、(C)应满足的关系。我们可以把这个问题转化为函数(y = AX2 + BX + C)的图像在(X)轴上方或与(X)轴重合。通过观察图像可知，(A)一定大于(0)，且(\Delta \leq 0)，所以这个题答案选(C)。刚才解题过程中把不等式的解的问题转化成函数图像问题，这里利用了划归转化思想，通过函数图像分析得到(A)与(\Delta)应满足的条件，还利用了数形结合思想。
随堂检测三：解关于(X)的不等式(MX2 - 2MX - 2 < 0)恒成立，求(M)的范围。
二次项前面的系数含有(M)，要解的这个不等式小于(0)恒成立，其实就是转化成函数的图像要在(X)轴下方。这个不等式不一定是一元二次不等式，所以做的时候要对(M)进行分类讨论。当(M = 0)时，(-2 < 0)恒成立。当(M \neq 0)时，这个不等式是一元二次不等式，转化成二次函数要在(X)轴下方，那就要求(M < 0)且(\Delta < 0)。解这个不等式组可得(M)的范围是((-2, 0])。刚才随堂检测的第二题和第三题其实都是不等式恒成立问题，这是数学中常见题型，也是高考热点问题。下面总结一下含参数不等式恒成立问题。
小结：第一种情况，一元二次不等式(AX2 + BX + C > 0)恒成立，函数图像在(X)轴上方，那么要求(A > 0)且(\Delta < 0)；第二种情况，一元二次不等式(AX2 + BX + C < 0)恒成立，开口方向向下，要求(A < 0)且(\Delta < 0)；第三种情况，一元二次不等式(AX2 + BX + C \geq 0)恒成立，函数图像在(X)轴或(X)轴上方，等价于(A > 0)且(\Delta \leq 0)；第四种情况，一元二次不等式(AX2 + BX + C \leq 0)恒成立，图像开口方向向下，要求(A < 0)且(\Delta \leq 0)。对于不等式恒成立问题，要讨论两块：一是开口方向，二是(\Delta)与(0)的大小。
美好的时光总是短暂的，数学探索的道路无止境，相信大家在探索过程中有很多收获，下面一起总结一下。课堂总结：
知识方面：本节课介绍了含参数的一元二次不等式解法的分类讨论标准，包括二次项的系数、(\Delta)的符号、根的大小关系。在分类讨论中要注意标准明确，逐级讨论，不重复、不遗漏；还介绍了含参数的二次不等式恒成立问题，利用开口方向和(\Delta)与(0)的大小关系来解决。
数学思想体现：本节课体现了数形结合思想、分类讨论思想、转化划归思想以及函数与方程的思想。
课后请同学们认真完成本节课的课后作业。这节课就上到这里，同学们再见。