师：同学们好，我们今天继续学习必修5第三章第一节第二课时——不等关系与不等式。上节课我们提到一个问题，芭蕾舞演员表演时脚尖立起，给人美的享受，原因是脚尖立起调整了身段比例。设人的脚尖立起身体提升了m，下半身长x与全身长y的比值，由(\frac{x}{y})变成了(\frac{x + m}{y + m})，这个比值接近黄金分割值0.618。其中数理关系是(0.58\approx\frac{x}{y}<\frac{x + m}{y + m}\approx0.618)。怎样判定这个小于关系成立呢？
我们知道任意两个实数都能比较大小，理论依据是：若(a - b > 0)，则(a > b)；若(a - b < 0)，则(a < b)；若(a - b = 0)，则(a = b)。这是实数比较大小的基本原理，也是研究不等关系的出发点。今天我们就从这里出发，来看例6。
请看大屏幕，比较((x + 1)(x + 5))与((x + 3)^2)的大小。要比较两个数的大小，作差原理是最基本的方法。所以我们根据实数比较大小的基本原理进行比较，((x + 1)(x + 5) - (x + 3)^2)，展开、去括号化简可得结果为(-4)。根据实数比较大小的原理，二者差小于0，即((x + 1)(x + 5) < (x + 3)^2)。这样我们利用实数比较大小的基本原理得到了二者的大小关系。而要利用不等式研究不等关系，就需要了解不等式的性质。
那初中学习的不等式基本性质有哪些呢？大家思考回忆一下。
性质1是对称性，若(a > b)，则(b < a)；
性质2是传递性，若(a > b)，(b > c)，则(a > c)；
性质3是可加性，若(a > b)，则(a + c > b + c)，即在不等式两侧同时加上同一个实数(c)，不等式符号不改变；
性质4是可乘性，若(a > b)，(c > 0)，则(ac > bc)；若(a > b)，(c < 0)，则(ac < bc)。也就是说，在不等式两侧同时乘同一个正数，不等式符号不改变；同乘同一个负数，符号要改变。这就是初中学习的四条基本性质。那不等式还有其他性质吗？
请大家看一组思考交流题，用小于或大于号填空。先看第一个，大家得出结果了吗？应该填大于号。但数学是严谨的，仅靠猜想结论不一定成立，必须经过严格推理证明。第一个可以如何证明呢？可以从实数比较大小的基本原理作差法入手，用(a + c)和(b + d)作差，就能得到(a + c > b + d)。我们刚复习过初中的四条不等性质，能不能利用它们来证明呢？观察式子特点，涉及加法问题，所以从不等式的加法性质入手。因为(a > b)，在这个不等式两侧同时加上同一个实数(c)，不等式符号不变；同样，(c > d)，在这个不等式两侧同时加上同一个实数(b)，不等式符号也不变。这时结合不等式的传递性，就可以得到(a + c > b + d)。这样通过严格推理证明，我们确定第一个结论正确。这是加法情况。
如果遇到乘法，像第二个问题，又如何判断大小关系呢？大家思考一下，动笔算一算，第二个应该填什么号？结果出来了吗？仍然是大于号。又该如何证明呢？乘法问题同样可以从初中不等式性质入手。因为(a > b)，在这个不等式两侧同时乘同一个正数(c)，不等式符号不改变，得到(ac > bc)。同理，(c > d)，(b)是正数，在这个不等式两侧同乘同一个正数(b)，不等式符号也不变。这时利用不等式的传递性，就可以得到(ac > bd)，也得到了严格证明。这里限制条件较多，我们改动一下，保留(a)、(b)的条件，去掉(c)、(d)大于0的条件，刚刚(ac > bd)的结论还成立吗？大家判断一下。
成立吗？不成立。为什么不成立呢？想推翻这个结论，只需举一个反例。有反例吗？有。我们不妨令(a = 4)，(b = 1)，(c = -3)，(d = -4)，此时(ac = -12)，(bd = -4)，显然是小于号，所以这个结论错误。所以要推翻一个结论，举一个反例即可。
我们继续看第三个平方问题，平方实质还是乘法，这里应该填什么？大于号。怎样证明呢？可以利用实数比较大小的基本原理作差，也可以利用已学函数的单调性证明。它和第四个类似，所以第四个也是大于号。第四个证明可以结合幂函数的单调性。
经过严格推理证明，我们得到了不等式的四条主要性质：
同向可加性，若(a > b)，(c > d)，则(a + c > b + d)；
同向同正可乘性，若(a > b > 0)，(c > d > 0)，则(ac > bd)，注意必须同向同正才能用这条性质；
可乘方性，若(a > b > 0)，则(a^n > b^n)，其中(n\in N^+)；
可开方性，若(a > b > 0)，则(\sqrt[n]{a} > \sqrt[n]{b})，同样(n\in N^+)。要特别注意这些约束条件。
利用这四条主要性质，我们来解决例7。
大家先阅读题目，题目要求利用不等式的主要性质证明下列问题。先看第一个，当(x > 0)时，(y = x^2)是增加的，要求证明。首先要知道什么是单调递增函数，回忆必修一的知识，在函数(y = f(x))的定义域内的一个区间(I)上，如果对于任意两数(x_1)，(x_2\in I)，有(f(x_1))，(f(x_2))，当(x_1 < x_2)时，也有(f(x_1) < f(x_2))，就称函数(y = f(x))在区间(I)上是增加的，也可称在区间(I)上是递增的。现在知道什么是递增函数了，明确要证明的目标，如果(x_1 < x_2 > 0)，应该比较(x_1^2)与(x_2^2)的大小。如何比较呢？可以用最基本的作差方法，也可从不等式的主要性质入手，平方是乘方问题，所以从不等式主要性质3——乘方性质入手。
首先设对任意的(x_2 > x_1 > 0)，根据不等式的主要性质3可乘方性，得到(x_2^2 > x_1^2)。再结合函数单调性的概念，就得到(y = x^2)在((0, +\infty))内是单调递增的。这是平方情况，我们改动一下，改成三次方，证明当(x > 0)时，函数(y = x^3)是单调递增的，该如何证明？
必修一时我们用最基本的作差方法，现在回顾一下。首先对任意(x_2 > x_1 > 0)，利用作差法比较二者差值，接下来化简要用到立方差公式。根据题目条件，因为(x_2 > x_1 > 0)，所以(x_2 - x_1)是正的，(x_2^2)、(x_1^2)以及(x_1x_2)全都是正的，这样就得到(x_2^3 > x_1^3)，证明了函数单调递增，这个方法有点麻烦，要用到立方差公式。
现在不用这个方法，利用不等式的四条主要性质，从乘方性质入手。对于任意(x_2 > x_1 > 0)，根据不等式主要性质3，可得(x_2^3 > x_1^3)。再结合函数单调性概念，很容易证出(y = x^3)在((0, +\infty))上是单调递增的。做题时可选择不同方法，选思路更顺畅的。
数列是特殊的函数，如果题目改成数列问题，该如何证明呢？首先要知道什么是递减数列，上一章刚学过，一个数列从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即(a_{n + 1} < a_n)，这个数列就叫做递减数列。概念清晰了，如果(i > j > 0)，(a_i)和(a_j)谁大谁小呢？根据递减概念，(a_i < a_j)。数列中(a_i)和(a_j)有一定联系，如何用(i)、(j)表示(a_i)呢？需要从数列通项公式入手。
首先(a_i = a_1 \times q^{i - 1})，要产生和(j)的关系，把(i - 1)配凑拆分成(j - 1 + i - j)次方，再利用指数运算性质，得到(a_i = a_1 \times q^{j - 1} \times q^{i - j})，(a_j)已经出现，所以(a_i = a_j \times q^{i - j})。
有了这个拆分，来看证明过程。首先设对任意(i > j > 0)，(a_i)、(a_j)满足通项公式，(a_i = a_j \times q^{i - j})。由于(q > 0)且(q < 1)，利用不等式主要性质3可乘方性，两边同时平方，得到(q^2 < 1)。把这两个式子结合，利用不等式同向同正可乘性，得到(q^3 < 1)，不断进行下去，得到(q^{i - j} < 1)。在这个式子两侧同乘正数(a_j)，不等式符号不改变，所以(a_j \times q^{i - j} < a_j)，(a_i)出现了，就得到(a_i < a_j)，证明了数列是单调递减的。这是一种证明方法，还有其他思路吗？
涉及指数问题，常用的作商方法也可以。从作商入手，首先设对任意(i > j > 0)，二者作商，利用数列通项公式，(\frac{a_i}{a_j} = \frac{a_1 \times q^{i - 1}}{a_1 \times q^{j - 1}})，利用指数运算性质化简得到(q^{i - j})。因为(i > j)，所以(i - j > 0)，又(q > 0)且(q < 1)，结合指数运算性质得到(q^{i - j} < 1)，即(\frac{a_i}{a_j} < 1)。在这个不等式两侧同时乘同一个正数(a_j)，不等式不变号，所以(a_i < a_j)，得到该数列是递减的。
在作商过程中要注意什么呢？一是拿比值与1比较，二要注意分母的符号问题，因为后面涉及乘法。还有作差方法，留作大家课后自行完成。通过这个题目可以总结出，不等式的性质是不等式变形、化简、证明的基础，不仅要熟练运用性质，还要特别注意性质中的约束条件。从不等式性质出发，通过逻辑推理可论证大量初等不等式，如柯西不等式、平均值不等式、贝努利不等式等，后面我们会继续学习。
数学源于生活且服务于生活，如果遇到实际应用问题该怎么做？请看大屏幕。
看题目，建筑设计规定民用住宅窗户面积必须小于地板面积，按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不应小于10%，且这个比值越大，住宅采光条件越好。试问，同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅采光条件变好了还是变坏了？大家思考并说明理由。
遇到这样的实际生活运用问题，首先要把它抽象成数学问题，选择建立合适数学模型，再用数学方法解决，最后运用到实际生活中。所以第一步抽取所需量，设住宅窗户面积和地板面积分别为(a)、(b)，同时增加的面积是(m)。根据问题要求，(a < b)且(\frac{a}{b} \geq 10%)。把问题转换成两个分式的差的问题，(\frac{a + m}{b + m} - \frac{a}{b})，通分、化简、提取公因式后得到(\frac{m(b - a)}{b(b + m)})。题目已知(a < b)，所以(b - a > 0)，(a)、(b)、(m)在实际生活中显然是正数，所以整个式子(\frac{m(b - a)}{b(b + m)} > 0)，即二者差大于0，得到(\frac{a + m}{b + m} > \frac{a}{b})，且满足前提条件大于等于10%。那么采光条件变好了还是变坏了呢？肯定是变好了。
从这个实际生活问题抽象出一个结论，一般设(a)、(b)为正实数，(a < b)，(m > 0)，则(\frac{a + m}{b + m} > \frac{a}{b})。也就是说，在一个真分数的分子分母上同时加上同一个正数(m)，分式的值变大，这就是不等式的真分数性质。这也解释了为什么芭蕾舞蹈演员立起脚尖能调整身体比例，看起来更优美，以及为什么很多女性热爱高跟鞋。在实际生活中，还有哪些例子满足这样的不等式呢？比如糖水加了糖更甜，汤觉得盐少再加盐会更咸，诸如此类例子很多。遇到实际生活问题，要知道如何解决。
因此抽象出一般步骤，既然实际生活中有这么多应用，大家再看一个思考题。请结合开头芭蕾舞的内容填下表格，说出悟出的道理。开头讲的是垫起脚尖，下半身长与身高比例关系的调整，这个留作大家课后交流问题。既然要交流，顺便把课本74面的思考交流题也一起交流了，根据现在情况，电话交流、网络交流都可以。现在我们共同回顾一下这节课学习了哪些内容。
首先学习了不等式的性质，以及如何利用不等式性质进行不等关系的证明、化简、变形等，注意其中的约束条件。在这个学习过程中，体会到了从特殊到一般的转化与划归思想，从实际问题抽象成数学模型的建模思想，以及不等关系证明过程中体现的逻辑推理思想，这些都是数学的核心思想，希望大家认真体会。最后布置作业，一是课本73 - 74面的思考题1、2，希望大家相互交流；二是课本74面习题3 - 1 A组第5题、B组第2题，认真完成。今天的课就上到这，同学们再见。