师：同学们好，本节课我们来学习一元二次不等式的应用。首先回顾前面几节课所学的知识。前面我们学习了函数、方程、不等式之间的关系，下面通过这个表来做一次回顾。
当Δ大于0时，函数y = ax2 + bx + c（a大于0）的图像为开口向上的抛物线，它与x轴有两个交点，因此相应方程的根为两个相异实根。不等式ax2 + bx + c大于0的解集为函数图像在x轴上方的点的横坐标构成的集合；ax2 + bx + c小于0的解集为函数图像在x轴下方点的横坐标构成的集合。
当Δ等于0时，函数的图像与x轴只有一个交点，因此相应方程有两个相等实根。不等式ax2 + bx + c大于0的解集为图像在x轴上方的点的横坐标构成的集合；不等式ax2 + bx + c小于0为图像在x轴下方的点的横坐标构成的集合。由于函数图像在x轴下方没有图像，因此该不等式的解集为空集。
当Δ小于0时，函数的图像与x轴没有交点，因此相应方程无实根。不等式ax2 + bx + c大于0的解集为全体实数集，ax2 + bx + c小于0的解集为空集。
通过一元二次函数、方程、不等式之间的关系，我们总结了一元二次不等式的求解流程：一是将二次项前的系数化为正数；二是判断对应方程的根；三是求对应方程的根；四是画出对应函数的图像；五是根据图像写出不等式的解集。这是前面几节课我们所学习的重要内容。
本节课我们来学习一元二次不等式的应用，应用主要分为两个方面，一是在数学中的应用，二是实际应用。本节课我们通过几个例题一起来探究一元二次不等式在数学中的应用。
首先请大家看例1，m为何值时，方程x2 + (m - 3)x + m = 0有实数解？根据我们以前所学一元二次方程的知识，我们知道方程有实数解，可转化为Δ大于等于0，化简可得m2 - 10m + 9大于等于0。这是一个关于m的一元二次不等式，由此解得m小于等于1或m大于等于9。所以当m小于等于1或m大于等于9时，原方程有实数解。
通过这个题目我们发现在解数学题的时候，会经常涉及到解一元二次不等式，这就要求我们具备能准确、熟练地解一元二次不等式的技能。
下面我们再看例2，解下列不等式。首先同学们观察这两个不等式有什么特点？我们发现这两个不等式不等号的左边都是分子和分母含x的因式的不等式，我们将这种不等式称为分式不等式。
好，下面我们先看第一个，(x + 1) / (x - 3)大于等于0。根据我们之前所学的商的符号法则，两个同号的数的商为正，两个异号的数的商为负，这个符号法则跟乘积的符号法则是一样的，两个同号的数的乘积为正，两个异号的数的乘积为负。因此我们能否将这个不等式转化为(x + 1)(x - 3)大于等于0呢？在转化的过程中，我们要让解集相同，那还需要保证什么条件呢？很显然还需要保证分母不为0，也就是x - 3不等于0，这样就能把分式不等式转化为我们熟悉的一元二次不等式。
接着按照商的符号法则，不等式(x + 1) / (x - 3)大于等于0，可转化为不等式组：(x + 1)(x - 3)大于等于0，且x - 3不等于0。解得x小于等于 - 1或x大于3，即原不等式的解集为x小于等于 - 1或x大于3。
这个题目，我们根据商的符号法则与积的符号法则一致的原理，将分式不等式转化为了一元二次不等式，且解集相同，这种转化变形称为同解变形。在转化的过程中需要注意分母不为0。
接着看第二问，(2x + 1) / (x + 5)小于3，请想一想这个问题跟上一个问题有什么区别？相信同学们都能看出来，不等号的右边是3，那么我们就不能使用商的符号法则转化为左边的分子分母同号或异号了。想一想能不能把这个问题变形成第一问的形式，大家思考一下，也可以动笔来写一写。
下面我们来看一下具体的解法。首先我们移项得(2x + 1) / (x + 5) - 3小于0，将不等号右边变为0，然后接着通分，即(2x + 1 - 3(x + 5)) / (x + 5)小于0，进一步化简为(-x - 14) / (x + 5)小于0，也就是(x + 14) / (x + 5)大于0。那么仿照第一问，可将这个不等式转化为(x + 14)(x + 5)大于0，解得x大于 - 5或x小于 - 14。
那么你能总结一下本题的步骤吗？本题首先先移项，使得不等号的右边为0，接着通分，将不等式的左边变成只有一个分式，然后再接着商化积，将分式不等式转化为了整式不等式。
通过这两个问题，同学们你能总结一下解分式不等式的一般步骤吗？对于简单的分式不等式，我们可以通过移项、通分、商化积，将分式不等式转化为整式不等式来处理。具体的为：f(x) / g(x)大于0或小于0等价于f(x) × g(x)大于0或小于0；f(x) / g(x)大于等于0或小于等于0，等价为f(x) × g(x)大于等于0或小于等于0，且g(x)不等于0。也就是说，在商化积的过程中，我们要注意分母不为零。
好，通过商化积将分式不等式转化为了我们熟悉的一元二次不等式类型的整式不等式，这是一元二次不等式的一个应用。那么除此之外，一元二次不等式还有其他的应用吗？
下面我们看例3，解不等式(x - 1)(x - 2)(x - 3)大于0。观察这个不等式，不等式的左边是由三个一次因式相乘得到，这就跟我们的一元二次不等式有相似之处。我们回顾解一元二次不等式的时候是借助了函数的图像，那么对于这个题目能否类比一元二次不等式与相应函数图像的关系，也利用函数图像来解决呢？
首先设函数f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)，f(x)有哪些图像特征？函数f(x)有三个零点，分别是1、2、3，也就是图像与x轴有三个交点，分别是(1, 0)、(2, 0)和(3, 0)。要解这个不等式，实际上就是解当x取何范围时，函数f(x)的值为正。
我们知道函数值的符号是由x - 1、x - 2和x - 3这三个因式的符号决定的，因此下面我们来探索一下三个因式在各个区间的符号。我们先根据函数的3个零点，将定义域分隔成这4个开区间：负无穷到1开区间、1到2开区间、2到3开区间、3到正无穷。请大家通过这个表格将x - 1、x - 2、x - 3以及f(x)在这四个开区间内的值的符号在表格中填写清楚。请同学们动笔完成，并观察有何规律。