师：同学们大家好，欢迎来到王老师的数学课堂。今天我们共同学习北师大版必修五第二章第一节的内容，请大家看大屏幕。台风中心位于某沿海城市正东方向300公里处，正以每小时40公里的速度向西北方向移动，距离台风中心250公里范围内将会受其影响。如果台风风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响？这种影响持续多长时间？
我们把台风中心看成一个点，台风移动的方向看成一条直线，这样可以抽象出下面的三角形模型。图中已知AB = 300公里，AC = 250公里，∠B = 45°。要求BC，该怎么求出BC的大小呢？这就要用到我们这节课即将学习的正弦定理。
我们先来回顾一下初中时学过的三角形边角关系。在三角形ABC中，三个内角所对应的边分别为a、b、c。
角的关系：三角形的内角和等于180°，即∠A + ∠B + ∠C = π。
边的关系：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
边角关系：大角对大边，大边对大角。
这里说明一下，本节课中大写英文字母A、B、C表示三角形的三个内角，小写英文字母a、b、c表示三角形三条边的长度。
我们看看在直角三角形中有关的定理。若∠C = 90°，则有∠A + ∠B = 90°，a2 + b2 = c2 。第一个定理是直角三角形中锐角间的角度关系，第二个是边的关系。那直角三角形中有没有重要的边角关系呢？下面我们共同探究一下。
在直角三角形中，∠C = 90°，如何定义sinA、sinB呢？在这样一个直角三角形中，sinA对应的是对边与斜边，即a/c；同样，sinB对应的是b/c，sinC。由于∠C是90°，sinC = 1 。
下面把这两个式子做等价变形，a/sinA ，根据第一个式子，a/sinA = c ；b/sinB ，根据第二个式子b/sinB = c 。对比sinC，由于sinC = 1，这个结果也等于c ，于是我们有c = a/sinA = b/sinB = c/sinC 。
我们得到一个很优美的式子，这个式子在锐角三角形和钝角三角形中还成立吗？
先看锐角三角形的情况，设AB边上的高是CD 。根据三角函数的定义，在左边的直角三角形中，CD的长应该是b × sinA 。在右边的直角三角形BCD中，CD的长等于a × sinB ，所以我们有b × sinA = a × sinB ，化为分式可以写成a/sinA = b/sinB 。
同理，做BC边上的高AE ，可以得到AE的长度等于b × sinC ，也等于c × sinB ，化为分式，有c/sinC = b/sinB ，结合这两个式子，可以得到a/sinA = b/sinB = c/sinC ，这说明在锐角三角形中这个关系式是成立的。
接下来看钝角三角形的情况，设AB边上的高是CD ，在直角三角形ACD中，CD的长度可以写成b × sinA ，在直角三角形BCD中，CD的长度可以写成a × sin(180° - B) = a × sinB ，所以我们有b × sinA = a × sinB ，化为分式，得到a/sinA = b/sinB 。
同理，设BC边上的高AE ，可以得到AE的长度，可以写成b × sin∠ACE ，也可以写成c × sinB 。我们把这样一个式子化为分式，有c/sinC = b/sinB ，结合这两个式子，可以得到a/sinA = b/sinB = c/sinC 。这说明在钝角三角形中，这个关系式也是成立的。
综上所述，在一个三角形中，a/sinA = b/sinB = c/sinC 。
回顾刚刚探究这个结论时所采用的方法，对于锐角三角形和钝角三角形，我们是通过做高的方式把它们转化为直角三角形，这里用到了数学中的划归与转化思想。我们把这个优美的式子称为正弦定理。关于这个定理的证明，教材中给出了多种证法，向量法就是其中重要的一种。事实上可以利用向量的数量积以及向量加法的三角形法则对其加以证明，证明过程请同学们课后完成。
关于正弦定理，大家思考一个问题，能否用文字语言描述这个定理呢？可以的，在一个三角形中，各边和它所对角正弦的比相等，这就是正弦定理的文字表达形式。我们看这个定理的结构特征，它含有三角形的三边以及三个内角，各边与其对角的正弦值对应，体现出公式的对称美。
关于正弦定理，做如下几点说明：
正弦定理可以解决三角形中的哪些问题？正弦定理是一个连等式，看左边的式子a/sinA = b/sinB ，假如已知边a、边b和角A ，利用这个等式可以求出sinB的值。这就是第一种情况，已知两边和其中一边的对角，可求出另一边的对角。再看，假如已知两角∠A、∠B和其中一个角的对边，利用这个式子也可以求出另外一个角的对边，这就是已知两角和一边可以求出其他的角和边。
一般我们把三角形的三个内角和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫解三角形。对于正弦定理，看左边这个等式，里面包含四个量，边a、边b、角A、角B ，这四个量中假如知道其中三个量，利用这个等式就可以求出第四个量。所以用正弦定理时，包含着知三求一的解题思路。
正弦定理还可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化。正弦定理就像一座桥梁，连接三角形的边和角。
接下来看正弦定理的应用。
例1：某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩，如图2 - 4，其一角已破损，现测得如下数据，BC = 2.57厘米，CE = 3.57厘米，BD = 4.38厘米，∠B = 45°，∠C = 120°。为了复原，请计算原玉佩两边的长，请同学们思考一会。
我们来看这个题目的分析过程，要计算原玉佩两边的长度，我们延长两边BD和CE，使之交于点A 。这样在三角形ABC中，把已知量标在图形中，∠B = 45°，∠C = 120°，BC的长2.57厘米。根据三角形内角和定理，∠A = 15°。于是BC/sinA = AC/sinB ，这样可以计算出AC的长度，同理也等于AB/sinC ，进而可以求出边AB的大小。