师：好，大家好，今天我们来学习数列的概念。首先，请大家看这样一列数：3、6、12、24 。从这列数中，大家能发现什么信息呢？
生：从第二项起，每个数都是前面一个数的二倍。
师：没错。科学家通过这列数找到了一颗小行星，那是怎么做到的呢？我们来跟随科学家的脚步探究一下。首先，在这列数前面加上一个0，接着每个数都加上4，然后再把每个数除以10 。这样处理后，看似没什么特别的。但大家知道，水星到太阳的视距离是0.39，金星到太阳的距离是0.72，地球到太阳的距离是1.0 。对比我们处理后的这列数，0.39、0.4、0.72、0.7，是不是发现它们非常接近？这是不是意味着这列数中的每个数字对应着一颗行星呢？经过比对，发现确实很接近。但科学家又发现，按照推断，这里有个2.8 ，它对应的是不是也该有一颗小行星呢？也就是说，在火星和木星之间，是不是也能找到一颗与2.8对应的小行星？经过多年寻找，科学家终于在距离2.8个单位的范围内找到了谷神星。
小小的数列真不简单。其实在生活中有很多类似的例子。比如文学家庄子曾说过：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”如果把每天取完后剩余的部分依次记录下来，第一天记为1，第二天就是1/2 ，第三天是1/4 ，这样依次得到一列数据。如果把分母拿出来，就变成1、2、4、8 。同学们还可以去大自然观察，有些树木，第一年长出一根树枝，第二年还是一根树枝，第三年可能分叉变成两根树枝，第四年又得到三根树枝。把各年树枝的数量记录下来，就得到1、1、2、3、5、8 。有兴趣的同学可以查阅资料，这在数学中是很奇妙的一列数。
再比如，某足球前锋5场比赛的进球数，第一场进了4个球，第二场进了1个球，第三场0个球，从这里能看出他的状态变化。像这4列数，都是我们今天要学习的数列。像这样按照一定次序排列的一列数，我们就称为数列。这里要注意，必须是按照一定次序，颠倒顺序意义就不同了。比如把第一场进球数1和第二场进球数4颠倒，意义就不一样了。
在数列的定义中，按照一定次序排列的一列数，数列中的每一个数都叫做数列的项。其中第一个数就是第一项，第二个数就是第二项。根据项数的多少，我们可以把数列分成有穷数列和无穷数列。什么是有穷数列和无穷数列呢？如果项数有限，这样的数列就是有穷数列，比如刚刚足球前锋进球数的例子，只给了5项，就是有穷数列；而前面那些项数无限的数列，我们称为无穷数列。
那数列如何表示呢？我们通常将数列写成a?，a?，a? ，…… ，也可以写成{an} 。这里要注意，a?表示数列的第一项，a?表示数列的第二项。an表示数列的第n项。每个数列的第一项我们称为首项，第二项记为a?，第三项记为a? 。数列也可以记为{bn} 、{cn}等。但要注意，不加大括号的an表示第n项，加大括号后的{an}表示整个数列。给定一个n ，就有唯一的an与之对应，这和我们之前学的函数概念很接近。如果数列{an}的第n项可以用一个式子表示，这个式子就称为数列的通项公式。此时，an = f(n) ，这和函数是一致的，所以数列也可以从函数的角度去理解。知道了数列的通项公式，把n依次取1、2、3、4、5等代入，就能找到对应的项。
比如说，前面提到的1、1/2 、1/4 、1/8这列数，它的通项公式为什么是1 / 2??1 呢？如果给定一个数列，怎么找它的通项公式呢？比如1、2、4、8 ，这里面的数都是2的指数幂，第二项是21 ，第三项是22 ，第四项是23 ，发现项数与指数的关系是指数比项数少1，所以第n项可以写成2??1 ，第一项1也可以写成21?1 ，也满足这个规律，这样就找到了它的通项公式。
那1、1、2、3、5、8这列数，能写出它的通项公式吗？同学们，这个是写不出来的。如果能写出来，就意味着能知道这个运动员下一场的进球数，显然我们没有这个预测能力。所以有些数列是写不出通项公式的。
下面请同学思考这个问题：1、2、3、4、5和5、4、3、2、1，它们是同一个数列吗？第一列数的第一项是1，第二列数的第一项是5，所以这是不同的数列。这和我们前面学的集合不一样。如果给它们加上大括号，在集合里，这两个集合是相同的；但在数列里，即使不加大括号，它们也是不同的数列，这体现了数列的有序性。
由此我们可以想到，数列和集合的区别是什么呢？刚刚讲了数列和顺序相关，而集合中不能出现重复的元素，但数列中可以，比如足球前锋两场进球数都为1，都为0 。所以数列中的项要满足有序性和可重复性。
下面我们来看一个小例题。根据下列通项公式，分别写出这个数列的前5项。已知an = n / (n + 2) ，要求第一项，把n = 1代入，得到1 / 3；求第二项，把n = 2代入，得到2 / 4 ，即1 / 2；依次代入n = 3、4、5 ，得到3 / 5、4 / 6 。
同理，对于an = (-1)? × cos(nπ / 4) ，求前5项。这里要注意(-1)? ，n取奇数时它为 -1 ，n取偶数时它为1 ，这个也叫调和因子或符号因子。把n = 1代入，得到 - cos(π / 4) ，即 - √2 / 2；n = 2代入，得到cos(π / 2) = 0 ；依次代入求出前5项。