师：亲爱的同学们，今天这节课我将带领大家一起体验一节数学建模课探究活动——三角测量。
请看这幅美景，这是雅鲁藏布大峡谷。有关专家在大峡谷地区精确测绘了大峡谷的深度、宽度、高度等，掌握了极为重要的实测数据。看到这段介绍，大家能提出什么数学问题呢？
生：深度、宽度和高度这些问题在现实生活当中该如何测量？
师：我整理了各小组提出的问题。第一个任务，如果有一座古塔矗立在河岸边，我们利用皮尺及测角仪怎样测量古塔的高度呢？任务三，在你们生活的地区自己选定一个测量物，设计测量方案，完成测量并写出测量报告。今天我们就以任务一为例，一起来完成这样一个数学建模的过程。面对这个问题，请各学习小组展开讨论，你们能提出哪些解决方案呢？
下面我们来展示一下这几个小组讨论的方案。第一小组的方案是在古塔的同侧选定点 C，测量出 CB 的距离。我想问大家，还需要测量其他数据吗？又该在哪一个三角形当中去求解呢？
生：第一小组测出的是 C 点到塔顶的仰角∠ACB。在直角三角形 ACB 当中，由 tan∠ACB = AB / BC，我们可以求得它的高度为 BC × tan∠ACB。
师：这种方案如何呢？你来评价一下。
生：这种方法简洁，计算方便。
师：你们有其他疑惑吗？
生：老师，有个疑惑，如果我们在河对岸，无法直接测出 CB 的距离，又该怎么办？
师：第二小组给我们带来了他们的方案。我们看他们在河的另一岸只选择一个观测点 C，能求出古塔高度吗？我们还需要增加其他数据吗？这是他们组画的示意图，我们来看他们的求解过程。第一步，选择点 C 和 D，使 CD 水平。在图示当中，C、D、E 共线。第二步，在 C 点和 D 点分别用测角仪测出仰角α?和α?。第三步，测出 CD、BE 的长度，分别记为 m 和 n。第四步，在三角形 ACD 当中用正弦定理求出 AD，在直角三角形 ADE 当中求出 AE，它的高度为 AE + BE。我们再看一下他们组的详细计算过程，看完了第二组的分享，你们有何评价呢？
生：在第二小组对问题的分析当中，我们发现他们构造了两个三角形，综合运用了三角形求解的相关知识，整个步骤非常规范详细。这个方案很好地解决了 CB 长度无法测量的问题。
师：这个方案还有其他创新点吗？
生：在整个方案当中，最终结果加上了一个 BE。第二小组考虑到了在实际测量当中使用测角仪需要在三脚架上来固定，进而考虑到了三脚架的高度，考虑问题非常全面，这一点值得每位同学学习。
师：还有其他方案吗？第三小组给我们带来了新的解决方法，我们来看他们的分享。首先看第三小组单晨景同学画的示意图，你们知道他想如何求解吗？
生：第一步，他在河对岸选取两点 A、B，测出 AB 的长度。在实际当中 CB 不可测量，但是 AB 在河岸的同侧是可以测量的，他巧妙地回避了 CB。
师：测出 AB 以后，还需要增加哪些条件才可以求出塔的高度呢？
生：单琛瑾这一组又做了如下工作。他们测出了∠BAC 和∠ABC 的大小，记为α和β，再测出∠DAC 的大小，记为γ。他们测出了 3 个角。
师：有了第一步和第二步，可以求 CD 长了吗？
生：第三步，利用正弦定理在三角形 ABC 当中求出 AC。接着在直角三角形 ACD 当中，求出了塔的高度 CD。
师：对第三小组的方案，你们如何评价这个方案的优点？
生：它很好地回避了 CB 的长度，转化成了可测的 AB 长度。这个方案 AB 两点不需要和 C 点在同一条直线上，给实际操作带来了极大的方便。整个书写也非常规范工整，这一点值得每位同学学习。
师：你们还有其他方案吗？请大家在纸上把方案和详细的计算过程写出来，在班级群进行分享和交流。
让我们一起总结一下实际生活当中求高度问题常见有哪些类型。通过刚才各小组方案，我们发现有些实际问题底部可以到达。对于这样的问题，我们完全可以在直角三角形 ABC 当中直接求解。当然，如果在山顶上，画出第二个图，对于这样的问题又该如何求解呢？我们可以借助两个直角三角形，分别是三角形 ABC 和三角形 EBC 来建立方程组去求解，或者选择 AB 长减 BE 长得到 AE 长。而底部如果不可到达，比如说这幅图，这就是刚才孙慕凡这一组提供的方案，你们还记得求解过程吗？
生：可以先用正弦定理求出 AC 或者 AD，再解直角三角形求出 AB。