师：最好今天我们学习余弦定理。先复习回顾正弦定理及其应用。正弦定理为：a 比上 sin A 等于 b 比上 sin B 等于 c 比上 sin C，即在三角形中，任何一边与它对角正弦的比相等。它可以解决下面两类三角形问题：一、已知三角形两边与其中一边的对角解三角形；二、已知三角形任意两角与一边解三角形。但在实际应用中，知道其他条件能否解三角形呢？如果已知三角形两边及其夹角，或已知三边，能否用正弦定理解三角形呢？
如图，已知三角形两边 b 和 c 及它们的夹角α，求第三边 a。由正弦定理，就相当于知道边 b、边 c 及其夹角α来求第三边 a。通过正弦定理这个比例关系，我们不能直接求出 a。下面我们就来探究已知两边及其夹角来求第三边的问题。
在三角形 ABC 中，已知两边 b、c 及其夹角 A，求边 a。这个夹角 A 有可能是直角，也有可能是锐角，还有可能是钝角。下面分不同情况来求边 a。
情况一，当角 A 为直角时，正好满足勾股定理，a2 = b2 + c2，进而可求出边 a。
情况二，当角 A 为锐角时，为了求边 a，我们要把边 a 放在某一个三角形中，于是做 CD 垂直 AB 于点 D。这样边 a 就放到了直角三角形 BCD 中。这时，CD = bsinA，AD = bcosA，BD = c - bcosA。于是，根据勾股定理可得：a2 = (bsinA)2 + (c - bcosA)2，展开就会得到 a2 = b2 + c2 - 2bc cosA。
情况三，当角 A 为钝角时，为了求边 a 同样构造一个直角三角形。过 C 点做 AB 的垂线，垂足为 D。这样 a 就放到了直角三角形 BCD 中。可以求得 CD = bsin(π - A) = bsinA，AD = - bcos(π - A) = bcosA，BD = c + bcosA。在直角三角形 BCD 中，a2 = CD2 + BD2 = (bsinA)2 + (c + bcosA)2，展开整理也会得到 a2 = b2 + c2 - 2bc cosA。
当 A 为直角时，cosA 为 0，勾股定理 a2 = b2 + c2，也可以表达成 a2 = b2 + c2 - 2bc cosA。当角 A 为锐角和钝角时，都有 a2 = b2 + c2 - 2bc cosA。
综上，在任何三角形 ABC 中，已知两边 b、c 及其夹角 A，就有 a2 = b2 + c2 - 2bc cosA。同理可证，b2 = c2 + a2 - 2ca cosB，c2 = a2 + b2 - 2ab cosC。
我们用几何方法解决了这个问题，那能否用其他方法来解决呢？如果联想到向量的数量积与长度有关，还与夹角有关，就可以从向量入手来求已知两边 b、c 及其夹角 A 时第三边 a 的问题。
因为求 BC，所以从向量(\overrightarrow{BC})入手。根据向量的减法，(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB})。两边同时平方，即求各自数量积，可得(\overrightarrow{BC}^{2} = (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB})^{2})。
展开得到(\overrightarrow{AC}^{2} + \overrightarrow{AB}^{2} - 2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB})，继续展开得(\vert\overrightarrow{AC}\vert^{2} + \vert\overrightarrow{AB}\vert^{2} - 2\vert\overrightarrow{AC}\vert \vert\overrightarrow{AB}\vert \cos A)。
而(\overrightarrow{BC}^{2})也就是(\vert\overrightarrow{BC}\vert^{2})，用边 a、b、c 进行替换，就会得到 a2 = b2 + c2 - 2bc cosA。同理可证，b2 = c2 + a2 - 2ca cosB，c2 = a2 + b2 - 2ab cosC。
我们利用向量法证明了这三个等式。无论是用几何法还是向量法，证明的这三个等式都刻画了任意三角形中三边与某个角的余弦之间的等量关系，我们称其为余弦定理。
大家思考一下，如何用文字语言来描述余弦定理呢？
仔细观察这三个等式，发现它们都是 a、b、c 的轮换式，并且与平方有关，右边的角和左边的边正好相对应，同时也是另外两边的夹角。
以三角形 ABC 为例，三角形某一边的平方，例如 a2正好等于其他两边 b 和 c 它们的平方和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的二倍。
这样就得到了余弦定理的文字表述：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 a2 = b2 + c2 - 2bc cosA，b2 = c2 + a2 - 2ca cosB，c2 = a2 + b2 - 2ab cosC。大家可以进一步验证语言的概括与表达是完全一致的。
下面我们继续探究。以第三个式子 c2 = a2 + b2 - 2ab cosC 为例，令 C = 90°，cosC 就会为 0，于是得到 c2 = a2 + b2。这样就得到勾股定理与余弦定理的关系：勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广。
下面看余弦定理的变形公式。以 a2 = b2 + c2 - 2bc cosA 为例，移项可得 2bc cosA = b2 + c2 - a2，两边同除以 2bc，就会得到(\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc})。同样也可以得到(\cos B = \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2ca})，(\cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab})。