师：同学们，大家好。今天我们来学习必修5第三章第二节——一元二次不等式。首先，我们探究一下什么是一元二次不等式。
大家知道，汽车行驶时，由于惯性，刹车后还要滑行一段距离才能停下，这段距离叫刹车距。刹车距(s)（单位：(m)）与车速(x)（单位：千米每小时）有确定函数关系，不同车型刹车距离不同，它是分析交通事故的重要数据。
甲乙两辆汽车相向而行，在弯道相遇，弯道限速(40)千米每小时以内。因突发情况，两车相撞。交警现场测得，甲车刹车距离接近但未超过(12)米，乙车刹车距离刚刚超过(10)米。已知甲乙两车刹车距(s)与车速(x)的函数关系分别为：(s_{甲}=0.01x^{2}+0.1x)，(s_{乙}=0.005x^{2}+0.05x)。谁车速超过(40)千米每小时谁就违章，试问哪辆车违章行驶？
我们要通过刹车距推测甲乙车速，进而判断谁违章。甲车刹车距离接近但未超过(12)米，即(s_{甲}\leq12)；乙车刹车距离刚刚超过(10)米，即(s_{乙}>10)。把这两个式子单独拿出，根据题意，只需分别解不等式(0.01x^{2}+0.1x\leq12)和(0.005x^{2}+0.05x>10)，确认甲乙车速，就能判断谁违章。
我们把这两个不等式不等号右方常数项移至左方，像这样的不等式，就叫做一元二次不等式。下面给出一元二次不等式的定义：形如(ax^{2}+bx + c > 0)或(ax^{2}+bx + c\geq0)，或(ax^{2}+bx + c < 0)或(ax^{2}+bx + c\leq0)的不等式，其中(a\neq0)，叫做一元二次不等式。
现在我们认识了一元二次不等式，那如何解呢？来看个简单例子，如何解一元二次不等式(x^{2}-2x - 3 < 0)。
当(x)变化时，不等式左边可看作(x)的函数。确定满足(x^{2}-2x - 3 < 0)的(x)，就是确定函数(y = x^{2}-2x - 3)图像在(x)轴下方时(x)的取值范围。这样，就把解一元二次不等式转化为熟悉的二次函数图像问题。
下面列表描点画函数(y = x^{2}-2x - 3)的图像。通过列表描点得出图像后，从图像分析(x^{2}-2x - 3 < 0)的解。由对应值表与图像可知，当(x = -1)或(x = 3)时，(y = 0)，即(x^{2}-2x - 3 = 0)；当(x > -1)且(x < 3)时，(y < 0)，即(x^{2}-2x - 3 < 0)；当(x < -1)或(x > 3)时，(y > 0)，即(x^{2}-2x - 3 > 0)。
也就是说，满足一元二次不等式(x^{2}-2x - 3 < 0)时(x)的取值范围是(x > -1)且(x < 3)；满足(x^{2}-2x - 3 > 0)时(x)的取值范围是(x < -1)或(x > 3)。
我们给出定义：一般地，使某个一元二次不等式成立的(x)的值，叫这个一元二次不等式的解；一元二次不等式所有解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集。
按照这个概念，二次函数(y = x^{2}-2x - 3)与(x)轴交点是(( -1,0))与((3,0))，那么一元二次方程(x^{2}-2x - 3 = 0)的解集就是({-1,3})；一元二次不等式(x^{2}-2x - 3 < 0)的解集就是({x\mid -1 < x < 3})；一元二次不等式(x^{2}-2x - 3 > 0)的解集就是({x\mid x < -1)或(x > 3})。
通过这些步骤，我们解出了一元二次不等式。同学们回顾下，解一元二次不等式的步骤：先把一元二次不等式与相应二次函数联系起来，通过图像得出满足不等式的(x)取值范围。
能仿照上述做法解这个不等式吗？看如何解不等式(3x^{2}+5x - 2 > 0)，同学们思考一下。
仿照例题方法，解不等式(3x^{2}+5x - 2 > 0)，先画相应二次函数(y = 3x^{2}+5x - 2)的图像。画图前找二次函数与(x)轴交点，即解方程(3x^{2}+5x - 2 = 0)，解得(x_1 = -2)，(x_2 = \frac{1}{3})。这样就能画出函数图像。
根据图像能得出这个一元二次不等式的解吗？函数(y = 3x^{2}+5x - 2)图像开口向上，与(x)轴有两个交点(( -2,0))和((\frac{1}{3},0))。解一元二次不等式(3x^{2}+5x - 2 > 0)，就是找(x)取值范围，从图像看，满足(3x^{2}+5x - 2 > 0)的(x)取值范围对应函数图像(y > 0)部分。观察图像可得，不等式解集是({x\mid x < -2)或(x > \frac{1}{3}})，这样就解决了这个不等式。
如果老师把不等式中大于号变成小于等于号，又怎么求解呢？同学们思考一下。
解一元二次不等式(3x^{2}+5x - 2\leq0)，同样画相应二次函数(y = 3x^{2}+5x - 2)的图像。先找图像与(x)轴交点，解方程(3x^{2}+5x - 2 = 0)，解为(x_1 = -2)，(x_2 = \frac{1}{3})，然后画图。函数(y = 3x^{2}+5x - 2)是开口向上抛物线，与(x)轴有两个交点(( -2,0))和((\frac{1}{3},0))。解不等式找满足(3x^{2}+5x - 2\leq0)的(x)取值范围，从图像看，就是找(y\leq0)时(x)取值范围，可得不等式解集为({x\mid -2\leq x\leq\frac{1}{3}})。
这道题与刚才例子只是符号不同，结果解集就不同。所以观察图像找不等式解集时要格外仔细。
下面看例2，解不等式(9x^{2}-6x + 1 > 0)，同学们思考一下。
解一元二次不等式(9x^{2}-6x + 1 > 0)，画相应二次函数(y = 9x^{2}-6x + 1)的图像。先解方程(9x^{2}-6x + 1 = 0)，发现方程有两个相同实数解(x_1 = x_2 = \frac{1}{3})，这导致二次函数图像与(x)轴只有一个交点。解不等式(9x^{2}-6x + 1 > 0)，找满足函数(y > 0)时(x)取值范围，从图像看，(x)范围是(x\neq\frac{1}{3})。即函数(y = 9x^{2}-6x + 1)图像开口向上，与(x)轴只有一个交点((\frac{1}{3},0))，不等式解集是({x\mid x\neq\frac{1}{3}})。
再看一道题，解不等式(x^{2}-4x + 5 > 0)，同学们思考一下。
解不等式(x^{2}-4x + 5 > 0)，画相应二次函数(y = x^{2}-4x + 5)的图像。先解方程(x^{2}-4x + 5 = 0)，发现方程无实数解，这说明二次函数图像与(x)轴无交点。找满足不等式(x^{2}-4x + 5 > 0)的(x)取值范围，即从图像找(y > 0)时(x)取值范围，观察图像可得，该不等式解集为全体实数。
通过以上三个例题，总结解一元二次不等式步骤：当(a > 0)时，解形如(ax^{2}+bx + c > 0)或(ax^{2}+bx + c\geq0)，或(ax^{2}+bx + c < 0)或(ax^{2}+bx + c\leq0)的一元二次不等式，一般分三步。首先确定对应方程(ax^{2}+bx + c = 0)的解；然后画出对应函数(y = ax^{2}+bx + c)图像简图；最后根据图像得出不等式解集。这样就把一元二次不等式与相应一元二次方程的根以及二次函数图像联系起来，通过二次函数图像解一元二次不等式。
我们知道，一元二次方程的根由判别式(\Delta)决定。当(\Delta > 0)、(\Delta = 0)、(\Delta < 0)时，一元二次方程根的情况不同。下面分这三种情况探讨，当一元二次方程(\Delta > 0)、(\Delta = 0)、(\Delta < 0)时，对应的二次函数图像什么样，相应一元二次不等式解集又是什么样？请同学们把书翻到第77页，完成表格3 - 4。
我们来看，设(f(x)=ax^{2}+bx + c)，其判别式(\Delta = b^{2}-4ac)。当(\Delta > 0)时，方程(f(x)=0)有两个不相等的解，由求根公式可知，(x_1=\frac{-b + \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a})，(x_2=\frac{-b - \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a})。假设(x_1 < x_2)，由此可推出函数(y = f(x))的图像。
由图像看，不等式(f(x)>0)的解集是({x\mid x < x_1)或(x > x_2})；不等式(f(x)<0)的解集是({x\mid x_1 < x < x_2})。
当(\Delta = 0)时，方程(f(x)=0)有两个相等实数根，即(x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a})，其对应的二次函数图像与(x)轴仅有一个交点。从图像推出，不等式(f(x)>0)的解集是({x\mid x\neq -\frac{b}{2a}})，(f(x)<0)的解集是空集。
当(\Delta < 0)时，方程(f(x)=0)的解是空集，其对应的二次函数图像，(f(x)>0)时的解集是全体实数，(f(x)<0)的解集是空集。
以上分别从(\Delta > 0)、(\Delta = 0)、(\Delta < 0)对方程(f(x)=0)分析，得到不同二次函数图像，进而推出不等式(f(x)>0)和(f(x)<0)的解集。
回到课程最初问题，现在知道哪辆车违章了吗？老师把最初两个不等式放这里，同学们解出这两个不等式，看看谁车速超过(40)千米每小时。结果是乙车超速，违章行驶。
下面进行课堂小结。这节课我们认识了一元二次不等式，形如(ax^{2}+bx + c > 0)或(ax^{2}+bx + c\geq0)，或(ax^{2}+bx + c < 0)或(ax^{2}+bx + c\leq0)的不等式，其中(a\neq0)，叫做一元二次不等式。
解一元二次不等式步骤：先确定对应方程(ax^{2}+bx + c = 0)的解，接着画出对应函数(y = ax^{2}+bx + c)图像简图，最后根据图像推出不等式解集。
本节课学到的数学方法：解一元二次不等式时，由相应二次函数图像推出解，运用了数形结合思想；把一元二次不等式转化为学过的一元二次方程及二次函数图像，运用了转化与划归思想。
回顾例题，都是(a > 0)的情况，当(a < 0)时，一元二次不等式怎么解呢？这个问题留给同学们课下思考。同时完成作业：第78页练习一。
本节课就上到这里，再见。