师：同学们大家好，今天我们共同来学习必修五第三章第三节第二课基本不等式与最大最小值。上节课，蚌埠二中程林老师讲解了基本不等式，现在我们回顾一下其内容。如果(a)、(b)都是非负数，那么(\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab})，当且仅当(a = b)时，等号成立。我们可以换一种形式来看基本不等式，比如说对基本不等式两边同时乘以(2)，我们可以得到，若(ab \geq 0)，则(a + b \geq 2\sqrt{ab})，当且仅当(a = b)时，等号成立。这是它的第一种变形式。
我们也可以从另一个角度，比如说对基本不等式的两边同时平方，我们可以得到第二个变形的式子(ab \leq (\frac{a + b}{2})^2)。在这里边我们需要注意一下，它的适用范围扩大了，它对于(a)、(b)属于全体实数都适用，当且仅当(a = b)时，等号成立。现在我们可以对第二个变形做一个简单的证明，这里我们使用做差法：((\frac{a + b}{2})^2 - ab = \frac{a^2 + 2ab + b^2 - 4ab}{4} = \frac{(a - b)^2}{4} \geq 0)。所以我们可以得到，若(a)、(b \in R)，则(ab \leq (\frac{a + b}{2})^2)，当且仅当(a = b)时等号成立。
现在我们看一下课本上的问题。第一个问题，把一段(16)厘米长的细铁丝弯成形状不同的矩形，请问当长宽分别为多少时面积最大？本题中(16)厘米长的细铁丝不管弯成什么样的矩形，它的周长都为(16)厘米。此时我们设矩形的长为(x)厘米，宽为(y)厘米，(x)、(y)均大于(0)。根据矩形的周长为(16)厘米，我们可以得到(x + y = 8)。
这个问题用我们以前所学的函数的思想也可以解决。(y)用(x)来表示，算面积(xy)，用(8 - x)来替代(y)，换成一个二次函数，然后通过二次函数求最值可以解决这个问题。但是今天我们用一种新的方式来求最值。这时由基本不等式得(\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy})。这里(x + y = 8)为定值代入，我们可以得到(xy \leq (\frac{x + y}{2})^2 = 16)，当且仅当(x = y)时，等号成立。这时我们由(x + y = 8)和(x = y)，可以解得(x = y = 4)。所以当(x = y = 4)时，(xy)有最大值(16)，由此可知，边长为(4)厘米的正方形的面积最大为(16)平方厘米。我们用基本不等式来解决这个最值问题，当它的和是定值的时候，积有最大值。
我们来看第二个问题，在面积为(16)平方厘米的所有不同形状的矩形中，长宽分别为多少时周长最小？我们设矩形的长为(x)厘米，宽为(y)厘米，(x)、(y)大于(0)。我们根据矩形的面积为(16)平方厘米，我们可以得到(xy = 16)。这时由基本不等式得(\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy})。根据(xy = 16)代入，我们可以得到(x + y \geq 2\sqrt{xy} = 8)，当且仅当(x = y)时，等号成立。这时我们由(xy = 16)和(x = y)，我们可以解得(x = y = 4)。所以当(x = y = 4)时，(x + y)有最小值(8)，由此可知，边长为(4)厘米的正方形的周长最小为(16)厘米。对于这个问题，当它的积是一个定值时，它的和有最小值。
通过以上内容表明，当(x)、(y)都为正数时，下面的命题成立。第一，若(x + y = s)，和为定值，则当(x = y = \frac{s}{2})时，(xy)取得最大值(\frac{s^2}{4})。这是利用基本不等式(\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy})，即(xy \leq (\frac{x + y}{2})^2)。我们根据(x + y = s)代入，我们可以得到(xy \leq \frac{s^2}{4})，当且仅当(x = y = \frac{s}{2})时，等号成立。也就是说和为定值时积就可以取到最大值。
第二，若(xy = p)，积为定值，则当(x = y = \sqrt{p})时，和(x + y)取得最小值(2\sqrt{p})。这是利用基本不等式(\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy})，即(x + y \geq 2\sqrt{xy})。根据(xy = p)代入，我们可以得到(x + y \geq 2\sqrt{p})，当且仅当(x = y = \sqrt{p})时，等号成立。当积是定值时和可以取到最小值。简而言之，和定积最大，积定和最小。但是我们在利用基本不等式求最值时，应注意以下几点，第一，(x)、(y)一定要是正数，我们记为一正。第二，求积(xy)最大值时，应看和(x + y)是否为定值；求和(x + y)最小值时，看积(xy)是否为定值，记为二定。第三，等号是否能够成立，我们记为三相等。我们看一下能否用刚刚所学的知识来解决例一。
设(x)、(y)为正实数，且(2x + 5y = 20)，求(u = \log x + \log y)的最大值。
这里是求(u = \log x + \log y)的最大值。我们刚刚讲要求和应该求和的最小值，但是这里让求的是最大值，所以如果想用基本不等式来解决这个问题，不能把(\log x)、(\log y)看成一个整体，而是要对它做一个简单的变形。此时由对数运算性质，我们可以得(u = \log x + \log y = \log(xy))，此时要求(u)的最大值其实就是先求(xy)的最大值。所以问题成为，已知(x)、(y)大于(0)，(2x + 5y = 20)，求(xy)的最大值。这和我们基本不等式就对应了。要求积的最大值要看一下它的和是否为定值，而(x + y)的和显然不是定值，但是题目当中给出(2x + 5y = 20)，它的和为定值。这里我们可以将(2x)、(5y)看成一个整体利用基本不等式，我们可以得到(2x)与(5y)的积有最大值，从而得到(xy)有最大值。
进一步解决这个问题，我们看一下具体的解答过程。因为(x)、(y)大于(0)，所以由基本不等式得(\frac{2x + 5y}{2} \geq \sqrt{2x \times 5y} = \sqrt{10xy})。由于(2x + 5y = 20)，代入上述不等式，所以我们可以得到(\sqrt{10xy} \leq 10)，即(xy \leq 10)，当且仅当(2x = 5y)时，等号成立。此时我们根据(2x + 5y = 20)和(2x = 5y)，我们可以解得(x = 5)，(y = 2)。所以当(x = 5)，(y = 2)时，(xy)有最大值(10)。这样(u = \log x + \log y = \log(xy) \leq \log 10 = 1)。所以当(x = 5)，(y = 2)时，(u = \log x + \log y)有最大值(1)。这一题我们就用了基本不等式解决了求积的最大值问题。但是在利用基本不等式求最值时，一定要看一下一正二定三相等是否同时满足。