师：同学们好，上一节课大家已经学习了余弦定理及其推论，并掌握了它们的一些简单应用。今天由我带领大家进一步探究余弦定理及其推论。首先，我们回忆一下知识点。通过上一节课的学习，我们知道余弦定理主要应用于已知两边及夹角求第三边，而它的推论主要用于已知三边求任意内角。好，我们来看例题。
例一，在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c。若a等于2，b等于4，角C等于60度，则角A等于多少？我们先来分析这道题，题目给的条件是a边、b边和角C，属于已知两边及夹角的题型。我们可以由余弦定理求出第三边c，当得到第三边c的时候，又可以用余弦定理求出角A，当然，也可以利用正弦定理求出角A。
我们来看解析，因为(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C)，代入数值，我们可以求得(c^{2}=12)，开方得到(c = 2\sqrt{3})。由正弦定理(\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C})，我们可以得到(\sin A=\frac{1}{2})。通过前面的学习，我们知道在(0)度到(180)度范围内，该方程的解有两个，一个是(30)度，一个是(150)度。那么同学们想一下，此题角A是(30)度呢，还是(150)度呢，还是两者都可以呢？我们通常用什么来判断呢？对，我们通常用大边对大角来进行判断。我们来看，因为(a\lt c)，所以角(A\lt)角(C)，也就是小于(60)度，所以角(A = 30)度。
这道题，在求出第三条边后，还可以用别的方法来做吗？很好，同学们已经想到了。下面我们来看另外一种解法。因为前面两步跟第一种解法一样，由余弦定理我们可以求出(c = 2\sqrt{3})。当我们求出(c)边之后，就已经知道了三角形的三条边和一个角，这时候，我们可以选择用余弦定理的推论求出角(A)的余弦值。看，因为(\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc})，代入数值，我们可以得到(\cos A)的值等于(\frac{\sqrt{3}}{2})。而我们知道在(0)度到(180)度范围内，余弦值与角是一一对应的，所以角(A = 30)度，所以此题的答案是(30)度。
例二，在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c。若(b = 3)，(c = 3\sqrt{3})，角(B = 30)度，解此三角形。这是已知两边及一边对角的问题，由正弦定理我们可以求出角(C)，结合三角形内角和定理，我们可以把角(A)求出来，然后可以利用余弦定理或正弦定理求出边长。
我们来看解析，由正弦定理得(\sin C=\frac{c\sin B}{b})，代入数值，可以得到(\sin C)的值等于(\frac{\sqrt{3}}{2})。因为(b\lt c)，所以角(B\lt)角(C)，所以角(C = 60)度或(120)度。
当角(C = 60)度的时候，由三角形内角和定理可以求得角(A = 90)度。此时三角形的形状是这样，由余弦定理得(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A)，代入数值可得(a^{2}=36)，所以(a = 6)。
同理，当角(C = 120)度的时候，角(A = 30)度，(a)边等于(3)。此时该三角形的形状是这样。
综上可知，角(C = 60)度，角(A = 90)度，(a = 6)；或角(C = 120)度，角(A = 30)度，(a = 3)。
那么这道题我们是先用正弦定理求的，再用余弦定理的。请同学们想一下，能不能只用余弦定理来解这个三角形呢？当然可以。
我们来看另外一种解法，由余弦定理得(b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos B)。大家看这个等式，再结合题目给的条件，我们发现在这个等式中只有(a)不知道，代入数值，我们通过化简，可以得到关于(a)的一元二次方程。通过解一元二次方程，我们可以求得(a = 6)或(3)。
当(a = 6)时，由余弦定理得(\cos A)的值等于(0)，此时角(A = 90)度，由三角形内角和定理我们可以得到角(C = 60)度。
当(a = 3)时，此时三角形ABC是等腰三角形，所以角(A =)角(B = 30)度，而角(C = 180)度(-30)度(-30)度( = 120)度。这样我们就把这道题解答了。
我们通过以上两个例题的讲解，大家反思一下，已知三角形两边及一角解三角形的方法。第一，已知两边夹角，可以用余弦定理进行求解；当已知两边及一边的对角的时候，我们通常采用的是正弦定理求解，当然，也可以用余弦定理来进行求解。
下面我们来看两个练习。
练习一，在三角形ABC中，已知(a = 2)，(b = 2\sqrt{2})，角(C = 15)度，则角(A)的度数是多少？同学们一看就知道了，这是已知两边夹角，请同学们模仿例一的做法，自己做一下。
好，相信大家已经做好了。我们来一起看一下解析，由余弦定理，我们得到(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C)，代入数值，我们可以求出(c^{2})的值等于(8 - 4\sqrt{3})。这时候，可能摆在许多同学面前的难题是如何开方。我们前面也讲过了，当碰到根式开根的问题，通常情况下，我们可以把这个根式进行配方，这样就可以把它开出来，所以(c=\sqrt{6}-\sqrt{2})。
由正弦定理(\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C})，我们可以得到(\sin A=\frac{a\sin C}{c})，代入数值，我们可以求得(\sin A)的值等于(\frac{1}{2})。又因为(b\gt a)，所以角(B\gt)角(A)，这是用大边对大角来判断。又因为角(A)大于(0)度，小于(180)度，所以角(A)必为锐角，即角(A = 30)度，所以此题的答案应该选A。你答对了吗？课后思考，此题用余弦定理的推论怎么做呢？
好，我们来看练习二，在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c。已知(a=\sqrt{3}+1)，(b = 2)，角(A = 75)度，求角(B)、角(C)和(c)的值。那这道题我们知道，这是已知两边和其中一边的对角。
我们来看一下解析，由正弦定理得(\sin B=\frac{b\sin A}{a})，代入数值，我们可以求得(\sin B)的值等于(\frac{\sqrt{2}}{2})。因为(b\lt a)，所以角(B\lt)角(A)，所以角(B = 45)度，这是利用大边对大角。所以利用三角形内角和定理，我们可以求得角(C = 60)度。
由余弦定理得(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C)，代入数值我们可以求得(c^{2}=6)，开方我们可以得到(c=\sqrt{6})。这样我们就把这道题解完了，这道题的答案就是角(B = 45)度，角(C = 60)度，(c=\sqrt{6})。课后练习，请同学们用另一种方法来解此题。