师：同学们好，今天我们一起来学习人民教育出版社A版必修五第二章第三节等差数列的前n项和第一课时的内容。等差数列我们之前已经学过，先来简单回顾一下等差数列及其性质。
首先，等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，后一项与前一项的差为同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，用式子表示为(a_{n} - a_{n - 1} = d)（(n > 1)，(d)为常数）。
其次，等差数列的通项公式：(a_{n} = a_{1} + (n - 1)d)。
再者，等差数列还有重要性质。比如在通项公式基础上，(a_{n})还可写成(a_{n} = a_{m} + (n - m)d)；对于正整数(m)、(n)、(p)、(q)，若(m + n = p + q)，则(a_{m} + a_{n} = a_{p} + a_{q})。
这些关于等差数列的性质和结论，大家一定要牢记。等差数列在生活中很常见，其求和问题也经常遇到。通过本节课学习，希望大家达成以下学习目标：一是理解等差数列前n项和公式的推导思路，这是本节课重点；二是掌握等差数列前n项和公式，这样才能用公式解题；三是结合公式解决相关题目，包括等差数列基本量运算求解以及实际应用问题；四是通过公式推导与运用，提升逻辑推理、数学运算等核心素养与能力。
下面来看一幅图，图中的人物是谁呢？没错，他就是德国著名数学家高斯。高斯研究涉及数学各个领域，是世界伟大数学家之一，与阿基米德、牛顿、欧拉并称世界四大数学家，因对数学的卓越贡献，被誉为“数学王子”。今天的新课就从一个高斯的小故事说起。
200多年前，高斯的数学老师在课堂上提出一个问题：(1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + 100)结果是多少？这问题对小学四年级同学不算难，但要快速算出答案，可能得花些时间。同学们拿到题目后，马上开始逐项相加，看谁算得又快又准。
然而，就在同学们奋笔疾书时，高斯却已算出答案，他的举动让老师和同学们大为震惊。他是用什么方法在这么短时间内得出答案的呢？我们来看高斯的思路。他把这100个数重新分组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，依此类推，这样100个数就分成了50组。而且每一组的和都是101，相当于有50个101，所以只需计算(101×50)就能迅速得出答案。
高斯的算法很巧妙，他敏锐发现第一个数与最后一个数的和，和第(k)个数与倒数第(k)个数的和相等这一规律，并运用到数列求和中。实际上，高斯的算法解决的就是等差数列(a_{n} = n)前100项的求和问题。同学们，能否在高斯算法启发下，把数列(a_{n} = n)前100项求和问题，推广到任意前(n)项和的问题上呢？也就是，能否表示出(S = 1 + 2 + 3 + \cdots + n)的结果？大家思考一下。
看这个式子，(S = 1 + 2 + 3 + \cdots + n)，式子右边有(n)项，发现这(n)个数满足首项与尾项相加结果，等于第二项与倒数第二项相加结果。那这(n)个数能分成多少组呢？有同学说(\frac{n}{2})组，可我们不知道(n)是奇数还是偶数呀。为了能让这(n)个数首尾相加，又避开对(n)奇偶性的讨论，我们不妨这样处理：把式子右边(n)个数颠倒顺序重新写一次，即把最后一项放在第一项位置，倒数第二项放在第二项位置，依此类推。这一步叫倒序。
倒序最大好处是，观察两个式子等式右边对应项，第一项与原本倒数第一项，第二项与原本倒数第二项，以此类推，能满足首尾相加原则，快速算出答案。将这两个式子相加，会得到(2S = n(n + 1))，这一步叫求和，从而(S = \frac{n(n + 1)}{2})。也就是说，我们把数列(a_{n} = n)的任意前(n)项和表示出来了，从求前100项和推广到了任意前(n)项和。这个推导过程经历倒序与求和两步，这种求和方法叫倒序相加法。
说到这，大家可能有疑问：倒序相加法解决数列(a_{n} = n)的求和问题很实用，可等差数列有无数多个，这方法能否解决(a_{n} = n)以外任意一个等差数列的求和呢？能否推广到一般等差数列求和问题中？为了探究清楚，请大家继续看。
我们先给出数列前(n)项和的文字描述：一般地，称(a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n})为数列({a_{n}})的前(n)项和，记为(S_{n})，即(S_{n} = a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n})。等差数列作为特殊数列，其前(n)项和(S_{n})也可这样表示。在这个表达式中，利用等差数列通项公式，可对右边进一步处理：(a_{2} = a_{1} + d)，(a_{3} = a_{1} + 2d)，(\cdots)，(a_{n} = a_{1} + (n - 1)d)，把这个式子记为①式。
接下来用倒序相加法的两个步骤：第一步倒序，将等差数列前(n)项和(S_{n})以颠倒顺序方式重新写一次，(a_{n})放在第一个位置，(a_{n - 1})放在第二个位置，依此类推。再利用等差数列通项公式处理等式右边：(a_{n - 1} = a_{n} - d)，(a_{n - 2} = a_{n} - 2d)，(\cdots)，(a_{1} = a_{n} - (n - 1)d)，记为②式，倒序完成。