师：同学们大家好，上一节课我们一起复习了必修五第三章不等式的第一节不等关系与不等式，以及第二节一元二次不等式的相关内容。今天，我们将继续复习第三节二元一次不等式及不等式组。
首先，什么是二元一次不等式呢？我们把含有两个未知数，并且未知数的次数都是一的不等式，称为二元一次不等式。由几个二元一次不等式组成的不等式组，就叫做二元一次不等式组。我们是从二元一次不等式的几何意义来研究它的。一般来说，在平面直角坐标系中，二元一次不等式(ax + by + c > 0)表示直线(ax + by + c = 0)某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线，表示不包括边界；而不等式(ax + by + c \geq 0)表示的平面区域则包括边界。
那么，如何确定不等式表示的是直线哪一侧的平面区域呢？我们可以采用“直线定界、特殊点定域”的方法。具体怎么做，我们通过例题来回忆一下。
先看例一，已知实数(x)，(y)满足不等式组(\begin{cases}2x + y \leq 8 \ x + y \geq 6 \ x \geq 0\end{cases})。第一小题，求这个不等式组所表示的平面区域的面积。
我们要先确定这个不等式组所表示的平面区域是什么样的。怎么确定呢？我们先画出平面直角坐标系，然后依次确定每个不等式所表示的平面区域，最后取它们的公共部分，就是不等式组表示的平面区域。
先看第一个不等式(2x + y \leq 8)，运用“直线定界、特殊点定域”的方法。先确定(2x + y = 8)这条直线的位置，在平面直角坐标系内取((4,0))和((0,8))这两个点，就能确定直线位置。再用特殊点确定平面区域，这里选原点((0,0))，把原点坐标代入不等式，(2×0 + 0 \leq 8)，所以不等式(2x + y \leq 8)所表示的平面区域在直线(2x + y = 8)包含原点这一侧，也就是直线左下方的平面区域。
同理，确定(x + y \geq 6)所表示的平面区域。在平面直角坐标系内取((6,0))和((0,6))这两个点确定直线(x + y = 6)的位置。取特殊点原点((0,0))代入不等式，(0 + 0 < 6)，所以不等式(x + y \geq 6)表示直线(x + y = 6)不包含原点那一侧的平面区域，也就是直线右上方的平面区域。
而(x \geq 0)表示的是(y)轴右侧的平面区域。这样，这个不等式组所表示的平面区域就是这几个部分重叠的部分，即三角形(ABC)及其内部的平面区域，问题就转化为求此三角形的面积。
我们知道三角形面积公式是(\frac{1}{2}×底×高)，在三角形(ABC)中，选(BC)做底更好算。由图像可得(B)点坐标是((0,6))，(C)点坐标是((0,8))，所以底(BC)的边长是(2)。(BC)边上的高就是(A)点到(y)轴的距离，也就是(A)点的横坐标。
怎么确定(A)点的横坐标呢？(A)点是直线(2x + y = 8)和直线(x + y = 6)的交点，联立方程组(\begin{cases}2x + y = 8 \ x + y = 6\end{cases})，解得(x = 2)，(y = 4)，所以(A)点坐标为((2,4))，这样就得到三角形(ABC)中(BC)边上的高是(2)。所以三角形(ABC)的面积是(\frac{1}{2}×2×2 = 2)，此题结果就是(2)。
接下来看第二小题，求(z = 3x + y)在(x)，(y)满足上述不等式组条件下的最大值，这是一个典型的线性规划问题。
我们先复习几个名词：由(x)，(y)的不等式组成的不等式组称为(x)，(y)的约束条件；关于(x)，(y)的一次不等式组成的不等式组称为(x)，(y)的线性约束条件；把要求最大值或最小值的关于变量(x)，(y)的解析式称为目标函数；关于(x)，(y)的一次目标函数称为线性目标函数。求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，就称为线性规划问题。满足线性约束条件的解((x,y))称为可行解，由所有可行解组成的集合称为可行域。我们刚刚不等式组所表示的平面区域就是可行域，使目标函数取得最大值或最小值的可行解称为最优解。
要解决这个线性规划问题，找到(z)的最值，首先要找到最优解。我们已经画出不等式组所表示的平面区域，将(z = 3x + y)变形为(y = -3x + z)，这样就得到斜率为(-3)，在(y)轴上截距为(z)的一族平行直线。要求(z)的最大值，就转化为当直线(y = -3x + z)与可行域有公共点时，在可行域内找一点，使直线过此点时截距最大。通过观察发现，当直线(z = 3x + y)经过可行域上的点(A(2,4))时，截距(z)最大，此时目标函数(z)的最大值为(3×2 + 4 = 10)。
下面同学们来求解线性目标函数(z = -x + y)的最大值，(x)，(y)满足的不等式组不变，可行域已确定。将(z = -x + y)变形为(y = x + z)，得到斜率为(1)，在(y)轴上截距为(z)的一族平行直线。由图可知，当直线(z = -x + y)经过可行域上的点(C(0,8))时，截距(z)最大，所以(z)的最大值为(-0 + 8 = 8)，同学们做对了吗？从这两个例题可以看出，即使是同一个平面区域，所求的线性目标函数不同，最优解也不同。
继续看第4小题，求(z = x2 + y2)的最小值。之前的目标函数(z)都是关于(x)，(y)的一次式，是线性目标函数，这里(z)是关于(x)，(y)的二次式，怎么求解呢？我们回忆处理线性目标函数的方法，是找到其几何意义，利用几何意义求解。那(x2 + y2)的几何意义是什么呢？有的同学想到了，(x2 + y2)可以表示点((x,y))到原点的距离的平方。当实数(x)，(y)满足不等式组时，可行域已知，此时(x2 + y2)表示可行域内的点到原点的距离的平方，距离最小时，距离的平方最小。由图可知，可行域上的点(A(2,4))到原点的距离最小，所以(z)最小，此时(z)的最小值为(22 + 42 = 20)。
再看第5小题，求(z = \frac{y}{x})的最小值。这是一个商式形式的目标函数，(\frac{y}{x})的几何意义是什么呢？把(z = \frac{y}{x})变形为(y = zx)，这是一条过原点的直线，(z)表示可行域上的点与原点连线的斜率。从图像上看，可行域上的点(A(2,4))与原点的连线斜率最小，所以(z)最小，此时(z)的最小值就是(A)点纵坐标与横坐标的比值，即(\frac{4}{2} = 2)。
我们刚刚求解了一些抽象的线性规划问题，本节内容更侧重于实际问题的应用，下面来看一道应用题。
例二，电视台应某企业之约播放两套连续剧。连续剧甲每次播放时间为(80)分钟，广告时间为(1)分钟，收视观众为(60)万；连续剧乙每次播放时间为(40)分钟，广告时间为(1)分钟，收视观众为(20)万。企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放(6)分钟广告，而电视台每周只能为该企业提供不多于(320)分钟的节目时间。如果你是电视台的制片人，电视台每周应播映两套连续剧各多少次才能获得最高收视率呢？
应用题文字多、信息复杂，我们先梳理信息，用表格表示。设连续剧甲播放(x)次，连续剧乙播放(y)次。连续剧甲每次播放(80)分钟，播放(x)次需(80x)分钟；连续剧乙每次播放(40)分钟，播放(y)次需(40y)分钟。两套连续剧广告时间都为(1)分钟，播放(x)次甲需广告时间(x)分钟，播放(y)次乙需广告时间(y)分钟。连续剧甲每次收视观众(60)万，(x)次收视观众达(60x)万人次；连续剧乙每次收视观众(20)万，播放(y)次收视观众达(20y)万人次。
题目中的限制条件是：企业要求每周至少播放(6)分钟广告，即(x + y \geq 6)；电视台每周只能提供不多于(320)分钟节目时间，即(80x + 40y \leq 320)。要达到最高收视率，就是要使收视观众总人次最高，总人次为(60x + 20y)，设为目标函数(z)。
梳理信息后可表示为：设每周播放连续剧甲(x)次，播放连续剧乙(y)次，收视观众总人次为(z)，目标函数(z = 60x + 20y)。限制条件为(\begin{cases}80x + 40y \leq 320 \ x + y \geq 6 \ x \geq 0, y \geq 0 且 x,y \in N\end{cases})。本题就是求在(x)，(y)满足此不等式组的条件下，目标函数(z)的最大值。
在画出可行域之前，对不等式组的第一个不等式整理，两边同除以(40)，原不等式组等价于类似之前例题的不等式组，只是多了(y \geq 0)（表示平面区域在(x)轴上方，几乎不影响结果）和(x)，(y)是自然数，这意味着不等式组所表示的平面区域是三角形(ABC)及其内部的所有整点组成的区域。
求目标函数(z = 60x + 20y)的最大值，将其变形为(y = -3x + \frac{z}{20})，(\frac{z}{20})最大时(z)取最大值。发现直线过点(A(2,4))时(z)最大，把(A)点坐标代入，(z)的最大值是(60×2 + 20×4 = 200)万人次。
最后还原成实际问题的解，答：电视台每周应播放连续剧甲两次，播放连续剧乙(4)次才能获得最高收视率。
例3，已知正数(a)，(b)，(c)满足(2b + c \leq 8a)，(b + c \geq 6a)，求(\frac{b}{a})的取值范围。
题设中的两个不等式及要求的结论，容易让我们联想到线性规划的知识方法，但这里涉及三个变量，超出了之前研究范围。我们用转换与划归思想，采用减元策略，把三元问题转换成二元问题。看到要求(\frac{b}{a})，可把它看成一个变量，根据不等式特点，在两个不等式两边同除以正数(a)，得到(\frac{2b}{a} + \frac{c}{a} \leq 8)，(\frac{b}{a} + \frac{c}{a} \geq 6)。
令(x = \frac{b}{a})，(y = \frac{c}{a})，则三元不等式组转化为二元不等式组(\begin{cases}2x + y \leq 8 \ x + y \geq 6 \ x > 0, y > 0\end{cases})。问题就变为在此不等式组条件下求(z = x)，即(\frac{b}{a})的取值范围。
在平面直角坐标系内画出可行域，前两个不等式和之前类似，(y > 0)几乎不影响结果，(x > 0)需用虚线画出(x = 0)表示不包括边界。从图形可得(x)的范围是(0 < x \leq 2)，也就是(\frac{b}{a})的取值范围是((0,2])。
今天我们从二元一次不等式开始复习了简单的线性规划问题，下一节课我们将继续复习第三种不等式类型——基本不等式。今天的作业是完成复习参考题(A)组的第四、五题和(B)组的第四、五题。今天这节课就讲到这里，下课。