师：各位同学，大家好！今天我们继续学习二元一次不等式组与平面区域。首先，请同学们和我一同复习前两节课的主要内容。
回顾一，二元一次不等式组的概念。什么是二元一次不等式呢？我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是一的不等式称为二元一次不等式。来看练习，下列式子中是二元一次不等式的是。a选项“x + y = 1”是方程，不是不等式，排除；选项b和选项d中未知数x的次数是2，不是1，故也排除。因此，本题答案是c。
那么，二元一次不等式组的定义又是什么呢？我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。
回顾二，二元一次不等式组表示的平面区域的确定问题。
二元一次不等式组所表示平面区域的步骤有哪些？
第一步，划线：画出不等式对应的方程所表示的直线，若原不等式带等号，则画成实线，否则画成虚线。
第二步，定侧：利用特殊点，遵循“同侧同号、异侧异号”的规律。
第三步，求交：求各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
点与平面区域的位置关系主要有两种：点在区域内，点在区域外。
请看练习：下列各点中，不在“3X + 2Y < 6”表示的平面区域内的是。我们知道，判断一个点是否在某一个不等式表示的平面区域内，还是在区域外，可以将这个点的坐标代入到不等式当中进行检验，如果满足不等式，则点在区域内，否则点在区域外。将四个选项依次代入，发现只有“2，0”这一点不在这个区域。因此，答案选d。
再看练习3：若点p和点q在直线“x - 3y + m = 0”的同侧，则m的取值范围是？请同学们思考一下。
好，我们一同来分析。在直线“x - 3y + m = 0”同侧的点的坐标，使“x - 3y + m”的值同号；异侧的点的坐标使“x - 3y + m”的值异号。故有“(1 - 3×1 + m)×(1 - 3×2 + m) > 0”，即“(m - 2)×(m - 5) > 0”，可得“m < 2或m > 5”。因此，本题答案应为d选项。
回顾三，与平面区域相关的常见问题。
求平面区域的面积。
利用平面区域求二元一次不等式组整数解。
来看练习4：
- 第一问，画出不等式组所表示的平面区域。首先，我们画出平面直角坐标系。先画直线“x = 0”，注意这个地方不含等号，应划为虚线，“x > 0”表示它的右侧区域。再画直线“y = 0”，即x轴所在的直线，“y > 0”表示x轴上方区域。再画直线“4X + 3Y = 12”，令“x = 0”，得“y = 4”；令“y = 0”，得“x = 3”。由这两点画出直线“4X + 3Y - 12 = 0”。选取原点来定侧，发现原点在区域内，于是得到“4X + 3Y ≤ 12”对应的是直线的左下方区域，平面区域的公共部分即图中阴影部分就是不等式组对应的平面区域。
- 第二问，通过对图形的观察，已知这个平面区域的形状是直角三角形，面积s为“1/2×3×4 = 6”。
- 第三问，如何去求一个区域内的整点坐标？我们的主要方法是通过网格图解法，也就是通过打出网格线，然后寻求整点，画出网格线，在网格线中找出在该区域内的整点。通过图形易观察得到整点有三个，其坐标分别为(1, 1)、(1, 2)、(2, 1)。
回顾完上述三个方面的内容，今天这节课我将与同学们一起学习探讨二元一次不等式组在实际问题中的应用。
例一，要将两种大小不同的钢板截成a、b、c三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数，如下图所示。今需要a、b、c三种规格的成品，分别为15、18、27块。用数学关系式和图形表示上述要求，请同学们与我一同来分析一下。
两种大小不同的钢板需要两个变量，我们假设需截第一种钢板x块，第二种钢板y块。为了快速地理清题意，我们可以借助表格。第一种钢板x块的时候，截得的a规格小钢板块数应为2X块，b规格应为x块，c规格应为x块。第二种钢板y块所截得的a、b、c三种规格的小钢板的块数应为y块、2Y块和3Y块。两种钢板合计，a规格“2X + y”块，b规格“x + 2Y”块，c规格“x + 3Y”块。现需a规格15块，b规格18块，c规格27块。根据实际问题需要，所截得的两种钢板三种规格的数量应不小于现需量，于是“2X + y ≥ 15”，“x + 2Y ≥ 18”，“x + 3Y ≥ 27”。
由这三个不等式就行了吗？注意到这是一个实际问题，钢板的块数应该满足大于等于0，即x、y均大于等于0，从而得到这个不等式组。
通过这个分析，下面我们将规范的表述过程陈述如下。解：设需截第一种钢板x块，第二种钢板y块，则可得不等式组。
下面要画这个不等式组所表示的平面区域。同上节课内容一样，需要经历划线、定侧、求交这三个步骤。但是注意到这是一个实际问题，有它的特殊性。来看，不等式组当中，前三个不等式大于等于号的右侧15、18、27，数字较大。如果在坐标系中x轴和y轴上的单位长度取1的话，作图较为麻烦。因此本题我们x轴、y轴上单位长度取为2，建立如图所示的平面直角坐标系。
下面我们依次按照上面三个步骤进行。先画直线“2X + y = 15”，令“x = 0”，得“y = 15”；令“y = 0”，得“x = 15/2”，画得直线“2X + y = 15”。如图，用特殊点定侧，在这地方选择原点定侧，已知原点不在这个区域内，即区域应为直线的右上方。再画直线“x + 2Y = 18”，同样原点定侧，已知原点也不在该区域内，于是由这两个不等式所得公共部分为图中的阴影部分。
下面我们再画直线“x + 3Y = 27”。令“x = 0”，得“y = 9”；令“y = 0”，得“x = 27”，画得直线。如图中蓝色的图像。同样，原点定测，已知原点也不在这个区域内，所以“x + 3Y ≥ 27”对应的是直线的右上方区域。下面求出这三个不等式表示平面区域的公共部分，也就是图当中的阴影部分。
再看“x ≥ 0”，因为是y轴右侧区域，于是可得它们的公共部分。最后我们来画“y = 0”，已知“y ≥ 0”，应为x轴及其上方区域。于是得到它的公共部分，即图中绿色的阴影部分，即为这个不等式组所对应的平面区域。
我们注意到，画直线时尽量取坐标为整数的点，这样做出的图形更准确一些，并且单位长度取值要合理。注意到15、18、27它们都是3的整数倍。于是本题当中x轴、y轴上的单位长度取3的话应更合理一些。我们画出它所对应的平面区域，如图。
下面对例一所采用的方法，我们进行一个简单的小结。用平面区域来解决实际问题的步骤：
第一步，找到变量，设好未知数。
第二步，用表格理清题意。
第三步，将题目中所有的限定条件写成不等式，构建不等式组。
第四步，建立直角坐标系，将不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来。
我们接着来看例二，一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产一车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨。生产一车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨，现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨。在此基础上生产两种混合肥料，列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。
来分析一下，首先设好未知数，注意到本题中要生产甲、乙两种混合肥料，需要假设两个变量，即设计划生产甲种肥料x车皮，乙种肥料y车皮。用表格理清题意，甲种肥料x车皮所需磷酸盐4X，硝酸盐18X；乙种肥料y车皮磷酸盐需要y，硝酸盐需要15Y，库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，分别填入表格。
我们知道，生产甲、乙两种混合肥料所需的原料数应不超过库存量，所以得到“4X + y ≤ 10”，“18x + 15y ≤ 66”。同样，这是一个实际问题，注意到它的实际意义，甲种肥料x车皮和乙种肥料y车皮，这当中的x、y均大于等于0，于是列得不等式组。
下面我们规范地表述一下。设计划生产甲种肥料x车皮，乙种肥料y车皮，于是满足以下条件。接下来我们需要画出这个不等式组所表示的平面区域。
首先建立平面直角坐标系，先画直线“4X + y = 10”，分别令x、y等于0，可得两点。由这两点画出直线“4X + y = 10”。原点定测，已知原点在该区域内。
下面我们再画直线“18X + 15Y = 66”，令“x = 0”，得“y = 66/15”，令“y = 0”，得“x = 66/18”。我们发现在x轴上的这个点的横坐标和在y轴上这个点的纵坐标均不是整数，这样画出的线它的准确性就要差一些，所以在这个地方我们可以选择(2, 0)这样一个整点来确定这条直线。同样选择坐标原点来确定区域，已知原点也在该区域内。由这两个不等式构建的公共部分，如图。
再画“x = 0”，已知“x ≥ 0”，因为是y轴及其右边区域，得这三个部分的公共区域，如图。最后我们画直线“y = 0”，即x轴，“y ≥ 0”表示这条直线及其上方区域。于是这个不等式组所构建的平面区域，即图中绿色阴影部分。
我们注意到，在作图时，直角坐标系中单位长度取值要合理，必要时x轴、y轴上的单位长度也可以不统一。像本题当中，我们可以根据提示要求把y轴上的单位长度取为5，可画出不等式组对应的平面区域。如图。
我们再看例3。请同学们仔细阅读题干，在草稿纸上对照例一、例2所经历的解题的步骤来依照进行。
好，我们一起来看一下。首先设出未知量，生产a、b型两种型号的桌子，因此需要假设两个未知数，假设一个工人每天完成x张a型桌子和y张b型桌子。第二，用表格理清题意，依次将题目中信息填入表格。接下来我们把所有的量用x、y来表示。a型桌子x张，打磨时间10X，着色时间6X，上漆时间6x；b型桌子y张，三道工序所需时间依次为5y、12y和9y。
对于一个工人，每天打磨、上漆和着色的时间最长，分别为打磨450分钟、着色480分钟、上漆450分钟。根据以上所有的限制条件，按照一名工人生产两种型号桌子，每道工序的时间应不超过工作最长时间，可列得不等式“10X + 5y ≤ 450”，“6x + 12y ≤ 480”，“6x + 9y ≤ 450”。同样的，实际问题当中，相关量要有意义，也就是x和y均大于等于0，由此列得这个不等式组。同学们觉得对吗？我们注意到桌子应该是整张的，也就是应该为自然数，这个地方容易被同学们忽略。
完成了以上分析过程，我们再规范地表述一下解答的过程。首先，x轴和y轴上单位长度取10，依次画出直线“2X + y = 90”，原点在该区域内；画直线“x + 2Y = 80”，原点在该区域内，两区域公共部分如图；再画第三条直线“2X + 3Y = 150”，原点也在该区域内。这三个不等式表示平面区域的公共部分，如图。再看“x = 0”即y轴所在的直线，“x ≥ 0”，因为是y轴及其右边区域，这四个部分的公共部分为图中的阴影部分。最后画出“y = 0”，即x轴所在的直线，“y ≥ 0”，应为x轴及其上方的区域。这样我们画出这5个不等式表示平面区域的公共部分。如图，这当中并不是所有的点，它的横坐标和纵坐标都是自然数，应规范地表述为这个阴影部分内的整点。
通过以上三个示例的分析和学习，相信同学们对二元一次不等式组在实际问题当中的应用有了一个较为深刻的认识。下面我们把本堂课小结一下。
一、处理含有不等关系的实际问题，关键之处在于理清题意，将题目中所有的限定条件写成不等式，建立数学模型。
二、在应用平面区域解决问题时，准确画出不等式组表示的平面区域是解题的关键。
作业：
一、课本第93页习题3.3 b组题一、二两题。
二、预习下一节简单的线性规划问题。
今天的这节课就讲到这里，感谢同学们的相伴，再见。