师：同学们好，这节课我们一起来学习高中数学人民教育出版社A版必修5第二章第二节——等差数列。上节课我们学习了数列的概念及表示方法，知道把按照一定顺序排列的一列数称作数列，通常用列举法、图像法、递推法、通项公式法来表示数列，这些方法从不同角度反映数列特点。这节课我们先从几个生活中的例子开始。
第一个例子，我们按常法从0开始，每隔5数一次，得到数列：0，5，10，15，20。
第二个例子，2000年澳大利亚悉尼奥运会上，女子举重正式列为比赛项目，该项目共设7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列：48，53，58，63。
第三个例子，水库管理人员为保证优质鱼类生活环境，定期放水清库清理杂鱼。若水库水位为18米，自然放水每天水位降低2.5米，最低降至5.5米，那么从开始放水到可清理工作那天，水库每天水位组成数列：18，15.5，13，10.5，8，5.5。
第四个例子，我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期利息。按单利计算，本利和公式是：本利和 = 本金×（1 + 利率×存期）。例如，按活期存入1万元，年利率0.72%，那么按单利，五年内各年末本利和组成数列：10072，10144，10216，10288，10360。
好，同学们，我们把这四个例子中的数列放在一起，观察一下，它们有什么共同特征呢？通过观察不难发现，从第二项起，每一项减去前一项的差都是同一个常数，依次是5，5， - 2.5，72。在数学中，我们把具有这种特征的数列称为等差数列。下面我们一起来认识一下等差数列。一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
同学们，我们来找找这个概念中的关键词，通过关键词加深对概念的理解。有哪些呢？有“从第二项起”“每一项与它前一项的差”“同一个常数”。同学们都知道，数学语言是符号语言，大家能不能尝试用符号语言描述这个定义呢？怎么把“从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数”用一个式子表达出来？对了，就是(a_{n} - a_{n - 1} = d)，其中(n \geq 2)，且(n)是正整数。同学们，在数学中，定义是判断事物是否成立的标准，我们常用等差数列的定义来判断一个数列是不是等差数列，这种方法称作定义法。
了解了等差数列的定义后，我们不禁要想，等差数列有没有通项公式呢？好，我们一起来看。
刚才我们得到了等差数列的递推关系，不妨利用它把等差数列项与项之间的关系写一写。(a_{2} - a_{1} = d)，即(a_{2} = a_{1} + d)；(a_{3} - a_{2} = d)，即(a_{3} = a_{2} + d)，将(a_{2} = a_{1} + d)代入，得到(a_{3} = a_{1} + 2d)；(a_{4} - a_{3} = d)，即(a_{4} = a_{3} + d)，把(a_{3} = a_{1} + 2d)代入，得到(a_{4} = a_{1} + 3d)；一直到(a_{n} - a_{n - 1} = d)（(n \geq 2)），我们可以归纳出(a_{n} = a_{n - 1} + d)，把(a_{n - 1} = a_{1} + (n - 2)d)代入，得到(a_{n} = a_{1} + (n - 1)d)。
同学们要注意，此时(n \geq 2)，经检验(n = 1)时也成立，从而得到等差数列的通项公式为(a_{n} = a_{1} + (n - 1)d)。这种推导通项公式的方法我们称之为迭代法，迭代法也是处理数列问题的常用方法。
同学们，接下来我们换个角度观察这组递推关系。我们发现，第一个式子中的(a_{2})与第二个式子中的(-a_{2})相加可以抵消；第二个式子中的(a_{3})与第三个式子中的(-a_{3})相加，可以抵消；第三个式子中的(a_{4})与它后一个式子中的(-a_{4})相加，可以抵消；最后一个式子中的(-a_{n - 1})与它前一个式子中的(a_{n - 1})相加，可以抵消。假如把这些式子加在一起，等号左边只剩(a_{n} - a_{1})，那等号右边有多少个(d)相加呢？要搞清到底有多少个，其实不难，观察这组递推关系对应字母的下标就能得到答案。比如观察被减数的下标，从2到(n)，可以发现有(n - 1)个；观察减数的下标，从1到(n - 1)，也说明有(n - 1)个。于是将这(n - 1)个式子相加，可以得到(a_{n} - a_{1} = (n - 1)d)，即(a_{n} = a_{1} + (n - 1)d)。同学们一定要注意，此时(n \geq 2)，这个式子还不能称作通项公式，必须检验(n = 1)时也成立，才能得到等差数列通项公式(a_{n} = a_{1} + (n - 1)d)。而这种推导方法我们称为累加法，累加法同样是处理数列问题的常用方法。
刚才我们不仅得到了等差数列的通项公式，还认识了迭代和累加两种处理数列问题的常用方法。接下来回到等差数列的通项公式，从方程角度观察这个等式，我们发现其中有(a_{n})、(a_{1})、(n)、(d)四个量，满足知三求一，即知道其中三个可求剩下一个。
此外，我们发现(a_{n})与(n)分别是数列中的项和项的序号，它们是变化的，而(a_{1})与(d)是确定的，这说明等差数列的要素是首项和公差，即首项和公差确定时，等差数列确定。
利用通项公式，我们可以得到(a_{m} = a_{1} + (m - 1)d)，也就是(a_{1} = a_{m} - (m - 1)d)。假如把这个式子得到的(a_{1})带回通项公式，可以得到(a_{n} = a_{1} + (n - 1)d = a_{m} - (m - 1)d + (n - 1)d)，化简可得(a_{n} = a_{m} + (n - m)d)，这个也被称作等差数列的第二通项公式，即(a_{n} = a_{m} + (n - m)d)。这个公式在处理某些数列问题时，不必都回到首项(a_{1})上，它可以反映任意两项，即第(n)项与第(m)项的关系。
在进一步认识通项公式的基础上，我们来看几个具体问题。
例一第一小题，求等差数列(8)，(5)，(2)，…的第(20)项。分析可知，这个等差数列已知首项、公差、项的序号，求项，知三求一。因为(a_{1} = 8)，(d = 5 - 8 = - 3)，(n = 20)，所以(a_{20} = 8 + (20 - 1)×(- 3) = - 49)。