师：上一节课我们一起学习了如何测量角度问题，今天我们继续研究解三角形应用，举例有关三角形计算问题。今天这节课的学习目标主要有两点：一、学会推导三角形的面积公式，并解决简单的相关问题；二、学会利用正余弦定理证明简单的三角恒等式。下面进入今天的第一个内容——三角形面积。以前我们学过三角形面积公式$S = \frac{1}{2}×底×高$，如何把三角形的边角元素与这个公式结合起来呢？我们不妨过$A$点作$BC$边上的高。在直角三角形$ADC$中，$AD = b×\sin C$；在直角三角形$ADB$中，$AD = c×\sin B$。代入上述面积公式，我们可以得到三角形$ABC$的面积公式$S = \frac{1}{2}AB\sin C = \frac{1}{2}AC\sin B$。同样，我们过$B$点作$AC$边上的高$BE$，或过$C$点作$AB$边上的高$CF$，可以得到三角形面积公式的三种形式：$\frac{1}{2}ab\sin C$，$\frac{1}{2}bc\sin A$，$\frac{1}{2}ac\sin B$。大家可以发现，这三个面积公式都有这样的特点：在三角形$ABC$中，都是已知两边及其夹角，即两边及其夹角正弦值乘积的$\frac{1}{2}$。实际上，这三个公式对直角三角形、钝角三角形同样适用，同学们可以课下证明一下。
下面进入今天的第一个问题——三角形面积。请看例一，在三角形$ABC$中，假设边长$a = 1$，$c = 4\sqrt{2}$，$\angle B = 45^{\circ}$，求三角形$ABC$的面积。我们先来分析一下三角形$ABC$的已知条件，已知两边及其夹角，可以直接使用刚才所学的面积公式$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}ac\sin B$。把这三个数据代入计算，可得三角形$ABC$的面积为$2$。
此时，如果我们把$\angle B = 45^{\circ}$改成边长$b = 5$，其他条件不变，再让同学们求三角形$ABC$的面积。我们一起分析一下，要求三角形$ABC$的面积，可以选择$S = \frac{1}{2}ac\sin B$这个公式，当然选择其他两个公式也可以。因为试题已知条件是三个边长，要求$\frac{1}{2}ac\sin B$，在这个公式中，$a = 1$，$c = 4\sqrt{2}$，我们只需要把$\angle B$的大小计算出来即可。要计算$\angle B$的大小，在三角形$ABC$中，已知三边，所以可以使用余弦定理。由余弦定理的推论可得$\cos B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2ac}$，把$a = 1$，$c = 4\sqrt{2}$，$b = 5$代入计算，可以得到$\cos B = \frac{\sqrt{2}}{2}$。在三角形$ABC$中，可算出$\angle B = 45^{\circ}$，代入刚才分析的面积公式$\frac{1}{2}ac\sin B$中，可解出三角形$ABC$的面积等于$2$。
接下来，我们把例一中的$a = 1$改成$\sin A$，$c = \frac{4}{5}$，其他条件不变，求三角形$ABC$的面积。现在分析一下，要求三角形$ABC$的面积，这三个面积公式选哪一个呢？这就需要分析试题中的条件，已知$\angle B = 45^{\circ}$，$b$边未知，由此可以考虑使用正弦定理解题。由$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$，把$\sin C = \frac{4}{5}$，$c = 4\sqrt{2}$，$\angle B = 45^{\circ}$代入公式，可以计算得到$b$边长。$b$边长已知，$c$边长已知，$\angle B$和$\angle C$已知，实际上就等价于$\angle A$也知道，只是在本道题中需要通过计算求出来。所以我们可以选用$S = \frac{1}{2}bc\sin A$这样一个面积公式。
那接下来我们一起计算一下$\sin A$的大小。在三角形中，$A + B + C = 180^{\circ}$，所以$\sin A = \sin (B + C)$。由两角和的正弦公式展开，可得$\sin A = \sin B\cos C + \cos B\sin C$。现在$\angle B = 45^{\circ}$，$\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin C = \frac{4}{5}$，还有$\cos C$未知。因为$\sin C = \frac{4}{5} > \sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}$，所以可知$\angle C$为锐角或者钝角。通过$\sin^{2}C + \cos^{2}C = 1$，可以把$\cos C$计算出来。当$\angle C$为锐角时，$\cos C = \frac{3}{5}$，代入上面的公式，$\sin A = \frac{7}{10}\sqrt{2}$，此时代入面积公式，可计算得三角形$ABC$的面积等于$14$。
当$\angle C$为钝角时，$\cos C = -\frac{3}{5}$，代入公式，可得$\sin A = \frac{\sqrt{2}}{10}$。把相关数据$b = 5$，$c = 4\sqrt{2}$，$\sin A = \frac{\sqrt{2}}{10}$代入面积公式$\frac{1}{2}bc\sin A$，计算可得三角形$ABC$的面积等于$2$。
通过例一及其两个变式，我们发现在三角形$ABC$相关的面积问题中，改变边和角不同元素的个数会得到不同的新问题。比如，能否把例一中的$a = 1$，$c = 4\sqrt{2}$，$\angle B = 45^{\circ}$全部改成三个角的大小？也就是说，假设$\angle A$、$\angle B$、$\angle C$已知，能否求出三角形$ABC$的面积？由初中知识可知这是不行的。那么是否可以这样改变，把试题中的两边一角改变成两角一边？原来例一中的两边一角是两边及其夹角，还是两边及其对角，或者三边，又或者改编成四边形？我们自己也可以成为命题人，围绕例一改编出大量的三角形面积问题，同学们课下可以尝试改变并解答。通过例一及其变式的分析过程，我们发现求解三角形面积时需要注意：一、如果已知两边及其夹角，可以直接使用公式求面积；二、否则先用正弦定理求出需要的边或角，再使用公式计算。实际使用时要结合题目的条件灵活运用公式。