师：同学们好，今天我们一起来学习高中数学，人民教育出版社必修五第三章第三节3.3.2简单的线性规划问题。上节课我们学习了怎样画不等式组所表示的平面区域。那今天我们首先来画一下不等式组(\begin{cases}x - 3y + 6 \geq 0 \ x - y + 2 < 0 \end{cases})所表示的平面区域。
首先，我们画一个平面直角坐标系，然后画出(x - 3y + 6 = 0)的直线。先找出这条直线与坐标轴的交点，再画出直线。由于不等式中不等号带等号，所以这条线用实线表示。接着，把原点((0,0))代入到不等式(x - 3y + 6 \geq 0)中，我们发现((0,0))使不等式成立，所以原点所在直线一侧就是该不等式所表示的平面区域。
现在我们再来画(x - y + 2 < 0)的平面区域。首先画(x - y + 2 = 0)这条直线，为什么用虚线呢？因为不等号不带等号。同样用原点来判断是否使(x - y + 2 < 0)成立，我们发现它使不等式不成立，所以该点所在直线区域的另一侧，也就是课件中蓝色部分，就是(x - y + 2 < 0)所表示的平面区域。那么这两个区域的公共部分就是不等式组(\begin{cases}x - 3y + 6 \geq 0 \ x - y + 2 < 0 \end{cases})所表示的平面区域。在作图过程中，同学们要熟记“直线定界，特殊点定域”的方法。
好，下面我们通过一个例子来看一下怎样从实际问题中得出不等式。某工厂有(A)、(B)两种配件，生产甲、乙两种产品。每生产一件甲产品，使用(4)个(A)配件，耗时(1)小时；每生产一件乙产品，使用(4)个(B)配件，耗时(2)小时。该厂每天最多可从配件厂获得(16)个(A)配件和(12)个(B)配件，按每天(8)小时计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
题目中已知条件较多，一般处理问题时，我们可以用表格来梳理已知条件。甲产品需要(4)个(A)配件，耗时(1)小时；乙产品需要(4)个(B)配件，耗时(2)小时。为了获得该厂所有可能的日生产安排，我们不妨设分别生产甲、乙两种产品(x)件、(y)件。
那么通过已知条件，我们能得到关于(x)、(y)什么样的关系呢？因为生产甲产品耗时(1)小时，生产乙产品耗时(2)小时，每天按(8)小时计算，所以可以得到一个关于(x)、(y)的不等关系：(x + 2y \leq 8)。又因为甲产品需要(4)个(A)配件，设生产甲产品(x)件，那么甲产品一共需要(4x)个(A)配件，而从配件厂最多获得(16)个(A)配件，所以得到第二个不等关系：(4x \leq 16)。对于乙产品，设生产乙产品(y)件，每个乙产品需要(4)个(B)配件，总共只有(12)个(B)配件，从而得到第三个不等关系：(4y \leq 12)。
同学们思考一下，除了上述三个不等关系，还有其他隐藏的不等关系吗？由于是实际问题，(x)、(y)还需要大于等于(0)，这样我们就获得了这个不等式组(\begin{cases}x + 2y \leq 8 \ 4x \leq 16 \ 4y \leq 12 \ x \geq 0 \ y \geq 0 \end{cases})。
下面我们来画出这个不等式组所表示的平面区域。由上节课知识可知，我们首先画出边界(x + 2y = 8)，(x = 4)，(y = 3)。通过特殊点定域，平面中的阴影部分就是这个不等式组所表示的平面区域。但对于这个实际问题，(x)、(y)的取值还需要是整数，所以正确的日生产安排应该是图中阴影部分内的整点。这里强调一下，整点指的是平面直角坐标系下横纵坐标都是整数的点的坐标。
下面我们提出一个新问题。在明确了所有可能的日生产安排后，若生产一件甲产品获利(2)万元，生产一件乙产品获利(3)万元，在所有可能的日生产安排中，采用哪种生产安排会使得利润最大呢？同学们思考一下，和以前学习知识不同的是，这时(x)、(y)是双变量，怎么处理这样的问题呢？
我们引入一个新变量利润，设工厂获得的利润为(z)，就可以用(x)、(y)来表示变量(z)，即(z = 2x + 3y)。至此，实际问题就转变成了一个数学代数问题：当(x)、(y)满足不等式组并且为非负整数时，(z)的最大值是多少？
下面请同学们和老师一起学习如何处理这样的数学问题。首先利用上节课知识，画出这个不等式组所表示的平面区域。然后将(z = 2x + 3y)变形成(y = -\frac{2}{3}x + \frac{z}{3})。同学们观察(y = -\frac{2}{3}x + \frac{z}{3})在平面中是什么图形呢？它是一条斜率固定为(-\frac{2}{3})，在(y)轴上的截距为(\frac{z}{3})的直线。当(z)变化时，可以得到一族互相平行的直线。
老师在平面区域内找一个特殊点，那么这条直线平移后，过该点就可以得到唯一确定的直线(y = -\frac{2}{3}x + \frac{8}{3})，这意味着什么呢？由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点就能确定一条直线，这说明截距可以由平面内一个点的坐标唯一确定。每一个平面中的点坐标都能唯一确定一个截距。
那么现在问题就转化成了，要想求(z)的最大值，就应该使得截距最大，因为截距(\frac{z}{3})与所求的(z)成正比关系。所以问题可以转化为当直线(y = -\frac{2}{3}x + \frac{z}{3})与不等式组确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点，使直线经过该点时截距(\frac{z}{3})最大。
同学们思考一下，为什么直线(y = -\frac{2}{3}x + \frac{z}{3})要与平面区域相交呢？原因是(x)、(y)必须满足不等式组，即点坐标必须在平面区域内，所以直线必须过平面区域中的点，也就是直线要与不等式组确定的平面公共区域有公共点。
那么通过图形平移直线(y = -\frac{2}{3}x)，同学们能发现直线过哪个点(P)时截距最大呢？不难发现，点(P)是直线(x = 4)与直线(x + 2y = 8)的交点。平移这条过点(P)的直线，它在所有与不等式组确定的平面区域有公共点的直线中截距最大。
好，这样我们就可以求结果了。首先求点(P)的坐标，点(P)由直线(x = 4)和直线(x + 2y = 8)联立方程组求解得到，解得(P)点坐标是((4,2))。此时过点(P)的直线截距(\frac{z}{3})最大，代入(z = 2x + 3y)中，可得(z = 14)。所以(x = 4)就是甲生产的件数，(y = 2)就是乙生产的件数，(z = 14)就是工厂可获得的最大利润(14)万元。
通过上述过程，我们学习了如何求解(z = 2x + 3y)在不等式组下的最大值问题。通过上面的学习，我们来学习今天的新概念，到底什么是线性规划呢？
一、线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量(x)、(y)的约束条件。又因为这组约束条件都是关于(x)、(y)的一次不等式，故又称为线性约束条件。
二、线性目标函数：关于(x)、(y)的一次式(z = 2x + 3y)，是欲达到最大值或最小值所涉及的变量(x)、(y)的解析式，我们称之为线性目标函数。
三、线性规划问题：一般的求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，我们统称为线性规划问题。
四、可行解：满足线性约束条件的解，即刚才线性约束条件不等式组中的每一个解，我们都称之为可行解。
五、可行域：由所有可行解所组成的集合，我们称之为可行域。在平面直角坐标系下，不等式组所确定的平面区域也称之为可行域。
六、最优解：使目标函数求得最大或最小值的可行解，我们叫做线性规划问题的最优解。在上题中，使得截距最大的点(P(4,2))就是我们的最优解。
同学们再回顾一下有关概念。好，我们现在用两道题来巩固练习。
第一题：求(z = 2x + y)的最大值，使(x)、(y)满足约束条件(\begin{cases}y \leq x \ x + y \leq 1 \ y \geq -1 \end{cases})，如何求解？
第二题：求(z = 3x + 5y)的最小值，使(x)、(y)满足约束条件(\begin{cases}5x + 3y \leq 15 \ y \leq x + 1 \ x - 5y \leq 3 \end{cases})，如何求解？请同学们思考一下，利用刚刚所学的知识求解这两道题。
我们首先来看第一小题，题目中给出约束条件为(\begin{cases}y \leq x \ x + y \leq 1 \ y \geq -1 \end{cases})。那首先做出约束条件的可行域，先画出边界(y = x)，(x + y = 1)，(y = -1)。通过特殊点定域，课件中的阴影部分就是不等式组表示的平面区域，也就是可行域。
下面对目标函数(z = 2x + y)进行变形，把它变形成(y = -2x + z)。同学们观察(y = -2x + z)是什么图形呢？它是斜率固定为(-2)，在(y)轴上的截距为(z)，随(z)变化的一族互相平行的直线。变形后直线的截距是(z)，我们发现变形后的截距最大时，目标函数(z)最大。
下面先画(y = -2x + z)当中最特殊的一条直线，令(z = 0)，做出(y = -2x)。现在平行移动(y = -2x)，观察在移动过程中，当这条直线与可行域相交于哪一点时，产生的直线截距最大。不难发现，当直线经过图像中的点(A)时，产生的直线截距最大。点(A)是由直线(y = -1)与(x + y = 1)相交所得，所以点(A)的坐标可由(\begin{cases}y = -1 \ x + y = 1 \end{cases})联立方程组求解得到，点(A)坐标为((2,-1))。这样确定了这条直线截距最大，(A(2,-1))这个点就是可行域中的最优解。把(x = 2)，(y = -1)代入到目标函数(z = 2x + y)当中，就可以求得(z)的最大值等于(3)。
通过这道题的学习，同学们可以总结一下求解线性规划问题的过程吗？好，我们再来看下一道练习二，求(z = 3x + 5y)的最小值。同学们注意，此时和上题不同，上题求的是目标函数(z)的最大值，本题求的是目标函数(z)的最小值，使(x)、(y)满足约束条件(\begin{cases}5x + 3y \leq 15 \ y \leq x + 1 \ x - 5y \leq 3 \end{cases})。
和刚才练习方法步骤一样，首先画出约束条件所表示的可行域。先画出边界(5x + 3y = 15)，(y = x + 1)，(x - 5y = 3)。同学们要注意，每个不等式组中的不等式都带等号，所以直线要画实线。课件中的阴影部分就是不等式组这个约束条件所表示的可行域。
第二步，将目标函数(z = 3x + 5y)进行变形，转化成(y)关于(x)的一次函数(y = -\frac{3}{5}x + \frac{z}{5})。这条直线有什么特点呢？它是斜率固定为(-\frac{3}{5})，在(y)轴上的截距为(\frac{z}{5})，随(z)变化的一族互相平行的直线。观察变形前后(z)的几何意义，变形后直线的截距就是(\frac{z}{5})，当截距最小时(z)最小。
下面先画出这一族互相平行直线中的特殊一条直线，令(z = 0)，得到直线(L_0)：(3x + 5y = 0)。观察平移这条直线(3x + 5y = 0)，当直线平移并且与可行域相交时，经过哪一点直线的截距最小呢？通过观察可知，当直线平移后经过点(B)时，产生的截距最小。点(B)的坐标由直线(y = x + 1)与(x - 5y = 3)相交得到，所以点(B)的坐标可由(\begin{cases}y = x + 1 \ x - 5y = 3 \end{cases})联立方程组求得，(B)点坐标为((-2,-1))。这个点(B(-2,-1))就是最优解，将最优解代入到目标函数当中，就可以得到(z)的最小值等于(-11)。
经过两道题目的巩固练习，同学们收获了如何解决线性规划的方法和步骤了吗？下面同学们思考一下，要解决线性规划问题，应该有哪些步骤呢？我们课堂总结一下，求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤。一般分为三步：
第一步，寻找线性约束条件和线性目标函数。
第二步，由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域。
第三步，在可行域内求目标函数的最优解。
好，同学们，观察这三步，再回想本节课的学习过程，回想刚才解决问题中的具体操作过程，我们来布置今天的作业。
一、必修五第91页练习一第二小题：设(x)、(y)满足约束条件(\begin{cases}x - y + 1 \geq 0 \ x + y - 1 \geq 0 \ x \leq 3 \end{cases})，则目标函数(z = 2x - 3y)的最小值是多少。
二、通过今天的学习，观察课件中的这道题，思考本题错在了什么地方。若实数(x)、(y)满足(\begin{cases}1 \leq x + y \leq 3 \ -1 \leq x - y \leq 1 \end{cases})，求(4x + 2y)的取值范围。老师告诉你这是错解，它的过程为：一式加二式得到(2x \geq 0)且(2x \leq 4)，左右两边同乘(2)得到(4x \geq 0)且(4x \leq 8)（三式）；二式乘以(-1)得到(y - x \geq -1)且(y - x \leq 1)（四式）；一式和四式相加消去变量(x)，得到(2y \geq 0)且(2y \leq 4)（五式）。由于要求(4x + 2y)的范围，把三式中(4x)的范围和五式中(2y)的范围相加，得到(4x + 2y \geq 0)且(4x + 2y \leq 12)。以上解法为什么不正确呢？同学们请思考一下。
通过上节课和这节课所学，我们可以把不等式组所确定的平面区域在平面直角坐标系下表示出来。首先表示已知中的(\begin{cases}1 \leq x + y \leq 3 \ -1 \leq x - y \leq 1 \end{cases})这个平面区域，它是由四条直线所围成的封闭区域，那么(x)、(y)的限制条件就只能取平面中阴影部分的所有解。
再来看化简中的三式和五式，三式和五式确定的四条直线分别为(x = 0)，(x = 2)，(y = 0)，(y = 4)。通过三式和五式所得到的平面区域，进一步得到(4x + 2y)的取值范围是大于等于(0)且小于等于(12)。但是观察图像发现，在通过不等式相加相减的计算过程中，把原来不等式中(x)、(y)的区域无形中扩大了。所以说(4x + 2y \geq 0)且(4x + 2y \leq 12)这个解肯定是扩大的解，不是原来不等式组的解。那么请同学们课下去思考这道题应该如何操作呢？实际上这道题错就错在运算后可行域的范围变大了。
本节课就到这里，同学们下课。