师：大家好，本节课我们继续学习一元二次不等式及其解法。请同学们根据上节课的知识，判断下列式子是不是一元二次不等式。一元二次不等式是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。那么，根据这个定义，我们来看，一式和二式都是一元二次不等式。三式因为含有两个未知数，所以不是一元二次不等式。四式化简以后，虽然只有一个未知数，但这个未知数的最高次数是一，因此也不是一元二次不等式。同学们，你们判断正确吗？
刚刚我们已经判断出(x^2 - 5x < 0)是一元二次不等式。下面请同学们求该不等式的解。根据上节课的方法，同学们可以将不等式化为(x(x - 5) < 0)，由此可以得到两组一元一次不等式组，从而得出原不等式的解集为(0 < x < 5)。不知道同学们有没有其他的解法？请大家思考一下。求解一元二次不等式，你还有其他的解法吗？
好，让我们回忆一下。初中学习一元一次不等式时，我们探索了一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的关系。请同学们来看问题一：已知函数(y = 2x - 6)，当(x)满足什么条件时，(y = 0)，(y > 0)，(y < 0)？我们来看函数(y = 2x - 6)的图像，可以得到函数图像与(x)轴有一个交点。当(x = 3)时，(y = 0)，因此方程(2x - 6 = 0)的根(x = 3)，就是函数(y = 2x - 6)的零点，也就是函数图像与(x)轴交点的横坐标。
我们再看函数图像，在(x)轴上方的部分满足(y > 0)。因此，当(x > 3)时，(y > 0)，即(2x - 6 > 0)。函数图像在(x)轴下方的部分满足(y < 0)，也就是说，当(x < 3)时，(y < 0)，即(2x - 6 < 0)。
下面我们类比一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系，来探究一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。请同学们来看问题二：当(x)为何值时，(y = 0)？当(x)为何值时，(y < 0)？当(x)为何值时，(y > 0)？我们可以看到函数图像开口向上，与(x)轴有两个交点。因此，二次方程(x^2 - 5x = 0)有两个实数根，(x_1 = 0)，(x_2 = 5)。二次函数也就有两个零点，(x_1 = 0)，(x_2 = 5)。二次方程的根也就是二次函数的零点。函数图像在(x)轴下方的部分满足(y < 0)。因此，当(0 < x < 5)时，(y < 0)，即(x^2 - 5x < 0)。
结合图像，我们可以得到一元二次不等式(x^2 - 5x < 0)的解集为(0 < x < 5)。当(x < 0)或者(x > 5)时，函数图像在(x)轴上方，此时(y > 0)，即(x^2 - 5x > 0)。
我们结合问题三来梳理一下刚刚我们对一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。已知函数(y = x^2 + 4x - 1)，当(x)满足什么条件时，(y > 0)，(y = 0)，(y < 0)？请同学们拿出草稿纸，动手演练。
本题由(\Delta = 16 + 4 = 20 > 0)，可以解得方程有两个根，(x_1 = -2 - \sqrt{5})，(x_2 = -2 + \sqrt{5})。我们可以画出函数的图像，二次函数图像开口向上，与(x)轴有两个交点。因此，结合函数图像，我们可以看到当(x > -2 + \sqrt{5})或(x < -2 - \sqrt{5})时，(y > 0)；当(x = -2 \pm \sqrt{5})时，(y = 0)；当(-2 - \sqrt{5} < x < -2 + \sqrt{5})时，(y < 0)。
现在我们可以根据一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间的关系来总结一般的一元二次不等式(ax^2 + bx + c > 0)或(ax^2 + bx + c < 0)（(a > 0)）解集的求法。(\Delta = b^2 - 4ac)，我们可以根据(\Delta)来进行分类。
总结：当(\Delta > 0)时，二次函数的图像开口向上，与(x)轴有两个不同的交点。因此，方程(ax^2 + bx + c = 0)有两个不等实根，(x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})，(x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})。
求不等式(ax^2 + bx + c > 0)的解集，也就是寻找函数在(x)轴上方的图像所对应的(x)的范围。我们可以看到当(x < x_1)或(x > x_2)时，函数图像在(x)轴上方。因此，不等式(ax^2 + bx + c > 0)的解集就应该是(x < x_1)或(x > x_2)。
求解不等式(ax^2 + bx + c < 0)的解集，也就是寻找函数图像在(x)轴下方的部分所对应的(x)的范围。我们可以看到当(x_1 < x < x_2)时，函数图像在(x)轴下方，因此不等式(ax^2 + bx + c < 0)的解集就应该是(x_1 < x < x_2)。
下面我们来研究(\Delta = 0)时方程和不等式的解集情况。
当(\Delta = 0)时，二次函数的图像开口向上，与(x)轴只有一个交点。此时我们可以求得方程(ax^2 + bx + c = 0)有两个相等实根，(x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a})。
要求不等式(ax^2 + bx + c > 0)的解集，这时我们就需要去寻找函数图像在(x)轴上方的部分所对应的(x)的范围。我们可以看到函数图像与(x)轴只有一个交点，其他的所有点都在(x)轴的上方。因此，不等式(ax^2 + bx + c > 0)的解集就应该为(x \neq -\frac{b}{2a})。
需要求不等式(ax^2 + bx + c < 0)的解集时，我们也需要去寻找函数图像在(x)轴下方的部分所对应的(x)的范围。根据图像我们可以看出函数图像在(x)轴下方没有图像，因此不等式(ax^2 + bx + c < 0)的解集为空集。
当(\Delta < 0)时，二次函数(y = ax^2 + bx + c)图像开口向上，与(x)轴没有交点。因此方程(ax^2 + bx + c = 0)无实根。
我们要求不等式(ax^2 + bx + c > 0)的解集，就需要寻找函数图像在(x)轴上方的部分所对应的(x)的范围。我们可以看到函数图像完全在(x)轴的上方，因此不等式(ax^2 + bx + c > 0)的解集为全体实数。
不等式(ax^2 + bx + c < 0)的解集，我们也需要借助函数图像与(x)轴的位置关系来判断。我们可以看到函数图像没有在(x)轴下方的部分，因此不等式(ax^2 + bx + c < 0)的解集为空集。
我们一起来看例一：解不等式(x^2 + 2x - 3 > 0)。请同学们拿出草稿纸演练。
因为方程(x^2 + 2x - 3 = 0)的(\Delta > 0)，我们可以得到方程(x^2 + 2x - 3 = 0)有两个解，(x_1 = 1)，(x_2 = -3)。我们可以画出二次函数的图像，开口向上，与(x)轴有两个交点。去寻找函数图像在(x)轴上方时(x)所对应的取值范围。由函数(y = x^2 + 2x - 3)的图像，我们可以看到，当(x < -3)或(x > 1)时，(y > 0)，因此不等式的解集就应该是(x < -3)或(x > 1)。
下面我们来一起看一下例一的变式：解不等式(-x^2 - 2x + 3 > 0)。
不知道同学们有没有发现，变式的二次项系数变成了负数。那么如何来解二次项系数为负数的一元二次不等式呢？当然我们可以画出开口向下的二次函数图像，根据二次函数图像在(x)轴上方的部分来求出(x)的范围。但是我们还是建议同学们把二次项系数化为正数，这样我们可以统一到刚刚我们总结的一元二次不等式求解的解法上去。
利用不等式的性质，两边同乘(-1)，求(-x^2 - 2x + 3 > 0)，也就是求(x^2 + 2x - 3 < 0)。我们可以求出方程(x^2 + 2x - 3 = 0)的(\Delta)。因为(\Delta > 0)，所以方程(x^2 + 2x - 3 = 0)有两个不同的实数根，(x_1 = 1)，(x_2 = -3)。
我们画出二次函数(y = x^2 + 2x - 3)的图像。我们需要寻找的是(x^2 + 2x - 3 < 0)的(x)的解集。因此我们去寻找函数图像在(x)轴下方的部分所对应的(x)的取值范围，当(-3 < x < 1)时，(y < 0)，而(y < 0)就是(x^2 + 2x - 3 < 0)，也就是(-x^2 - 2x + 3 > 0)。所以我们就可以得到不等式(-x^2 - 2x + 3 > 0)的解集是(-3 < x < 1)。
那么在这里我们回忆一下如何来求解二次项系数为负的一元二次不等式的解法。同学们可以画出开口向下的二次函数图像，结合二次函数图像与(x)轴的位置关系来求出(x)的取值范围。但是为了统一起见，刚才我们也说了，建议同学们还是把二次项系数化为正数，这样我们可以方便利用表格来求出不等式的解集。
下面我们来一起看一下例2：解不等式(4x^2 - 4x + 1 > 0)。先请同学们自我演练一下。
这道题，我们可以发现，方程(4x^2 - 4x + 1 = 0)的(\Delta = 0)。因此方程(4x^2 - 4x + 1 = 0)有两个相等实根，(x_1 = x_2 = \frac{1}{2})。这样我们可以画出函数(y = 4x^2 - 4x + 1)的图像。我们可以得到函数图像开口向上，与(x)轴有一个交点。
那么要解不等式(4x^2 - 4x + 1 > 0)，也就需要寻找函数图像在(x)轴上方的部分。我们发现函数图像除了与(x)轴的那唯一的交点，其他的部分全部都在(x)轴上方。因此我们只需要去掉(x)轴与函数图像唯一的那个交点的横坐标的(x)取值即可。所以不等式的解集是(x \neq \frac{1}{2})。
我们来看例3：求函数(y = \sqrt{x^2 - 4x + 9})的定义域，请同学们思考一下。
同学们，我们知道开偶次方根需要被开方数大于等于(0)，因此我们求函数(y = \sqrt{x^2 - 4x + 9})的定义域，也就是求(x^2 - 4x + 9 \geq 0)。而方程(x^2 - 4x + 9 = 0)的(\Delta < 0)，所以方程(x^2 - 4x + 9 = 0)无实数解。
我们可以画出函数(y = x^2 - 4x + 9)的图像，可以看出函数图像开口向上，与(x)轴没有交点。因此函数图像上的所有点的(x)值都符合大于等于(0)的要求。所以(x)取全体实数时，(y)都是大于(0)的。所以我们根据函数(y = x^2 - 4x + 9)的图像可以知道，当(x \in R)时，(y > 0)，这样我们就可以得到不等式(x^2 - 4x + 9 \geq 0)的解集是全体实数，也就是函数(y = \sqrt{x^2 - 4x + 9})的定义域为(R)。
接下来我们来一起看一下例4：若关于(x)的一元二次方程(x^2 - (m - 1)x - m = 0)没有实数根，求(m)的取值范围。
我们知道关于(x)的一元二次方程没有实数根，也就意味着它的(\Delta < 0)。但是我们发现一元二次方程的(\Delta)算出来是((m + 1)^2)，它是恒大于等于(0)的。因此我们可以根据初中的知识就能够发现，无法使得一元二次方程的(\Delta < 0)，找不到这样的(m)的值，所以(m)的范围为空集。
当然，我们也可以来研究关于(m)的二次函数图像。我们可以画出(f(m) = (m + 1)^2)的图像，我们可以看到函数图像开口向上，与横轴只有一个交点。因此我们无法找到相应的(m)值，使得函数((m + 1)^2 < 0)，所以(m \in \varnothing)。
本节课我们探索了一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系，利用二次函数图像求解一元二次不等式。我们来总结一下利用二次函数图像求解一元二次不等式的步骤。
第一步，将原不等式二次项系数化为正数，也就是说我们要化成一般形式(ax^2 + bx + c > 0)或(ax^2 + bx + c < 0)（(a > 0)）的形式。
第二步，计算判别式，分析一元二次方程解的情况。
第三步，根据二次函数图像写出一元二次不等式的解集。
课后，请同学们独立认真完成作业。今天的课我们就上到这里，谢谢大家。