师：同学们好。前面我们学习了不等关系和不等式。初中时我们学过解一元一次不等式，其中用到大量不等关系与不等式基本性质，也了解过一元二次不等式。那究竟什么是一元二次不等式？它有什么特征？该如何求解？这就是本节课我们要探讨的内容。现在我们来看问题一。
上网获取信息已成为人们日常生活的重要部分，因特网服务公司负责将用户计算机接入因特网并收取费用。某同学要把自己计算机接入 Intel 网，现有两家 ISP 公司可供选择。公司 a 每小时收费 1.5 元，不足一小时按一小时计算。公司 b 的收费原则如图所示，用户上网第一小时收费 1.7 元，第二小时收费 1.6 元，以后每小时减少 0.1 元。若用户一次上网时间超过 17 小时，按 17 小时计算。一般一次上网时间不会超过 17 小时，不妨假设一次上网时间总小于 17 小时。
一次上网在多长时间以内，能保证选择公司 a 所需费用小于或等于选择公司 b 所需费用呢？阅读这段材料可知，公司 a 与公司 b 的收费依据都是上网时长，但收费规则不同。公司 a 按每小时 1.5 元收费，公司 b 第一小时收费 1.7 元，第二小时收费 1.6 元，以此类推。我们假设一次上网时长为 x 小时，公司 a 的收费就是 1.5x 元。
公司 b 的收费情况如何呢？公司 b 第一个小时收费 1.7 元，第二个小时收费 1.6 元，第三个小时收费 1.5 元，第 x 小时收费应为 1.7 - 0.1×(x - 1) = 1.8 - 0.1x 元。那么公司 b 的收费就是 1.7 + 1.6 + … + (1.8 - 0.1x) 元。
这个多项式该如何化简呢？有同学发现公司 b 每小时收费构成等差数列，可通过等差数列求和公式化简。首项 1.7 加上尾项 1.8 - 0.1x，乘以项数 x 再除以 2，即(\frac{x(3.5 - 0.1x)}{2})元。
现在要公司 a 的收费小于等于公司 b 的收费，即(1.5x \leq \frac{x(3.5 - 0.1x)}{2})。利用不等式基本性质化简整理，可得(x^2 - 5x \leq 0)。这样的不等式我们称为一元二次不等式，它有什么特征呢？
首先，它是整式不等式；其次，它只有一个未知数 x，且 x 的最高次数是 2。像这样的不等式就是一元二次不等式，其一般形式是(Ax^2 + Bx + C > 0)或(Ax^2 + Bx + C < 0)。这里要特别注意，a 不能为 0，若 a 为 0，不等式就没有二次项了。
学习了一元二次不等式的概念，下面请同学们判断 6 个不等式，哪些是一元二次不等式，哪些不是。
先看第一个不等式(3x^2 + 2x + 1 > 0)，它只有一个未知数 x，x 的最高次数是 2，符合一元二次不等式一般形式，所以是一元二次不等式。
第二个不等式(x^2 + y > 0)，有两个未知数 x 和 y，不是一元二次不等式。
第三个是一元一次不等式，未知数 x 最高次数是 1，不是一元二次不等式。
第四个不等式(3x^4 + 2x^2 + 1 > 0)，只有一个未知数 x，但最高次数是 4，不是一元二次不等式。
第五个(\frac{2}{x} < 1)，它的最高次数不是 2，也不符合一元二次不等式一般形式，不是一元二次不等式。
最后一个同样不是一元二次不等式，因为 x 的最高次不是 2。
知道了一元二次不等式，那第一个不等式(3x^2 + 2x + 1 > 0)该如何求解呢？回到前面的问题，要保证公司 a 收取的费用小于等于公司 b 收取的费用，就是要寻找 x 的值，使(x^2 - 5x \leq 0)成立。使一元二次不等式成立的 x 值称为一元二次不等式的解，求一元二次不等式解集的过程称为解一元二次不等式。
(x^2 - 5x \leq 0)这个一元二次不等式该怎么求解呢？一元二次不等式很容易让人联想到一元二次方程，我们能否从解一元二次方程的角度寻找解题思路呢？
先解方程(x^2 - 5x = 0)，(x^2 - 5x)可因式分解为(x(x - 5))，原方程转化为(x(x - 5) = 0)。两个多项式相乘等于 0，那么这两个多项式的值至少有一个为 0，即(x = 0)或者(x - 5 = 0)。分别解这两个一元一次方程，得到(x = 0)和(x = 5)，所以原方程(x^2 - 5x = 0)的解是(x = 0)和(x = 5)。
观察这个解的过程，我们通过因式分解，将方程左边多项式分解成(x(x - 5))，得到两个多项式之积为 0，进而将方程等价转换为两个一元一次方程来解。一元二次不等式能否用同样降次的方式处理呢？一元二次不等式和一元二次方程的区别在于一个用等号连接，一个用不等号连接。
现在模仿一元二次方程的解法解不等式(x^2 - 5x \leq 0)。首先对不等式左边多项式进行因式分解，不等式等价转换为(x(x - 5) \leq 0)。这意味着当(x \leq 0)时，(x - 5 \geq 0)；当(x \geq 0)时，(x - 5 \leq 0)。此时，我们已将一元二次不等式成功转化成两个一元一次不等式组来解决。只要其中任何一个不等式组成立，就能保证一元二次不等式成立。我们只需要求出这两个不等式组的解集并合并，就能得到一元二次不等式的解集。
先看第一个不等式组(\begin{cases}x \leq 0 \ x - 5 \geq 0 \end{cases})，(x - 5 \geq 0)解出来是(x \geq 5)，这两个不等式需同时成立，大于等于 5 和小于等于 0 的数没有公共部分，记作(x \in \varnothing)。
再看第二个不等式组(\begin{cases}x \geq 0 \ x - 5 \leq 0 \end{cases})，(x - 5 \leq 0)解出来是(x \leq 5)，这两个不等式同时成立，大于等于 0 和小于等于 5 的公共部分是(0 \leq x \leq 5)。
两个不等式组的解集都求出来了，最后将它们合并，得到不等式(x^2 - 5x \leq 0)的解集为(0 \leq x \leq 5)。
通过以上分析，归纳一下解一元二次不等式的方法：首先将不等式左边的多项式进行因式分解，进而将一元二次不等式转化为两个一元一次不等式组来解决，最后将两个不等式组的解集合并，就得到原一元二次不等式的解集。
现在利用这个思路解例题：解不等式(x^2 + 2x - 3 > 0)。
首先对多项式(x^2 + 2x - 3)进行因式分解，配方法是常见的因式分解方法。将(x^2 + 2x - 3)通过配方转化为((x + 1)^2 - 4)，把 4 看成(2^2)，利用平方差公式得到((x + 1 + 2)(x + 1 - 2))，即((x + 3)(x - 1))。原不等式转化为((x + 3)(x - 1) > 0)。
两个多项式相乘大于 0，这两个多项式的值同号，即(\begin{cases}x - 1 < 0 \ x + 3 < 0 \end{cases})或(\begin{cases}x - 1 > 0 \ x + 3 > 0 \end{cases})。
分别求这两个不等式组的解集：第一个不等式组，(x - 1 < 0)解出来是(x < 1)，(x + 3 < 0)解出来是(x < -3)，公共部分是(x < -3)；第二个不等式组，分别解出来是(x > 1)和(x > -3)，公共部分是(x > 1)。
最后将两个一元一次不等式组的解集合并，得到原不等式的解集是(x < -3)或(x > 1)。
回顾解题步骤和过程：首先将一元二次不等式左边的多项式进行因式分解，其次转化为两个一元一次不等式组，最后取两个不等式组解集的并集。同学们想一想，对这个过程有没有疑惑的地方？或者认为这个过程还需要完善吗？
来看例三：解不等式(4x^2 - 4x + 3 > 0)。
首先想用配方法进行因式分解，(4x^2 - 4x + 3)通过配方变成((2x - 1)^2 + 2)。此时发现无法再用平方差公式因式分解。有同学发现((2x - 1)^2)作为平方数，大于等于 0，再加一个正数 2，大于 0 恒成立。所以对于任意的 x，这个不等式都成立，该不等式的解集是实数集 R。
也就是说，当对多项式进行因式分解无法分解时，有可能要结合平方式大于等于 0 的特征具体问题具体分析。
比如再看下面两个变式：
变式一：解不等式(4x^2 - 4x + 1 > 0)。
很容易通过配方把它变为((2x - 1)^2)，原不等式转化成((2x - 1)^2 > 0)。此时没必要将不等式降次转化为两个一元一次不等式组，因为要保证((2x - 1)^2 > 0)，只需(2x - 1 \neq 0)，解得(x \neq \frac{1}{2})，所以原不等式的解集是(x \neq \frac{1}{2})。
变式二：(4x^2 - 4x + 1 < 0)，由变式一知分解成((2x - 1)^2)，这个平方数小于 0 不可能成立，所以它的解集为空集。
一元二次不等式的解法，今天主要学习的是代数解法，通过将一元二次不等式左边的多项式进行因式分解。一元二次不等式的解法在高中学习中有广泛应用，下面来看一个典型的分式不等式。
有一位同学解不等式(\frac{2}{x} < 1)，过程是两边同时乘以 x，推导出(x > 2)，然后下结论，该不等式的解集为(x > 2)。同学们觉得这样写有问题吗？有同学发现，不等式两边同时乘以一个数，必须知道这个数的符号是正还是负，才能决定不等号方向是否改变。顺着这个思路，就需要对 x 进行分类讨论，分(x > 0)和(x < 0)两种情况。感兴趣的同学课后可以完成这种分类讨论的方法。
现在从一元二次不等式的解法角度看，它们有什么关系呢？(\frac{2}{x} < 1)，x 作为分母不为 0，将不等式两边同时乘以(x^2)（正数，不等式方向不变），变成(2x < x^2)，移项得到(-x^2 + 2x < 0)，这是个一元二次不等式。
继续解下去，因式分解等价转换为(x(2 - x) < 0)。两个多项式相乘小于 0，继续等价转化为(\begin{cases}x > 0 \ 2 - x < 0 \end{cases})或(\begin{cases}x < 0 \ 2 - x > 0 \end{cases})。
分别求解这两个不等式组：第一个不等式组解出来分别是(x > 0)和(x > 2)，公共部分是(x > 2)；第二个不等式组解出来是(x < 0)和(x < 2)，公共部分是(x < 0)。
最后将两个一元一次不等式组的解集合并，得到原不等式(-x^2 + 2x < 0)的解集，也就是不等式(\frac{2}{x} < 1)的解集。
一元二次不等式的解法除了在典型分式不等式中应用，在其他一些低次或高次不等式中也有应用。
比如解不等式(x + \sqrt{x} - 2 > 0)。
它只含有一个未知数 x，但未知数 x 的最高次数不是 2，不是一元二次不等式。我们令(\sqrt{x} = t)（把(\sqrt{x})当作一个整体 t），则(x = t^2)，原不等式转化为(t^2 + t - 2 > 0)，这是个一元二次不等式。
继续分析，得到((t + 2)(t - 1) > 0)。两个多项式大于 0，值同号，即(\begin{cases}t + 2 > 0 \ t - 1 > 0 \end{cases})或(\begin{cases}t + 2 < 0 \ t - 1 < 0 \end{cases})。
解第一个不等式组，(t > -2)，(t > 1)，公共部分是(t > 1)；第二个不等式组，(t + 2 < 0)解为(t < -2)，(t - 1 < 0)解出来是(t < 1)，公共部分是(t < -2)。
要特别注意，(t = \sqrt{x})本身具备大于等于 0 的属性，所以(t < -2)要舍弃。这样就只剩下(t > 1)，即(\sqrt{x} > 1)。两边都是正数，根据不等式基本性质，两边同时平方不改变大小关系，得到(x > 1)，所以原不等式的解集是(x > 1)。
类似这样的问题还有很多，比如它的变式：解不等式(3x^4 + 2x^2 - 1 > 0)。
乍一看这是个最高次数为 4 次的不等式，一般高次不等式我们不会解，但对于一些特殊高次不等式可以尝试解决。我们可以把(x^2)当作一个整体，设(x^2 = t)，(x^4)就是(t^2)，原不等式转化成(3t^2 + 2t - 1 > 0)，这是个一元二次不等式。
对不等式左边多项式进行因式分解，转化为((3t - 1)(t + 1) > 0)。进而得到(\begin{cases}3t - 1 > 0 \ t + 1 > 0 \end{cases})或(\begin{cases}3t - 1 < 0 \ t + 1 < 0 \end{cases})，分别解这两个不等式组。
解第一个不等式组，解出来是(t > \frac{1}{3})，(t > -1)，取公共部分得到(t > \frac{1}{3})；第二个不等式组，分别解出来是(t < \frac{1}{3})和(t < -1)，公共部分是(t < -1)。
类似于前面(t)作为(x^2)整体替换，(t)具备大于等于 0 的属性，此时就只剩下(t > \frac{1}{3})，即(x^2 > \frac{1}{3})。利用上节课学习的不等式基本性质，两边都是正数，两边同时开方，得到(|x| > \frac{\sqrt{3}}{3})。这是初中学习的绝对值不等式，x 的取值范围是(x > \frac{\sqrt{3}}{3})或者(x < -\frac{\sqrt{3}}{3})，所以原不等式的解集是(x < -\frac{\sqrt{3}}{3})或(x > \frac{\sqrt{3}}{3})。
好，本节课主要内容就到这里，今天的作业是课本第 80 页练习第一小题，习题 3.2 a 组第一小题。同学们，再见。