师：各位同学大家好，今天我们一起来学习第二章第五节等比数列的前 n 项和。首先，我们复习一下前面学的等比数列的定义和通项公式。一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值是一个非零常数，这样的数列就是等比数列。它的第 n 项可以写成首项(A_1)乘以公比(q)的(n - 1)次方的形式。基于学习等差数列的经验，接下来我们要研究等比数列的前 n 项和。
师：我们先来看一个故事。在古印度，西萨发明了国际象棋，国王赞赏他，答应满足他一个要求。西萨说，在棋盘格上，第一格放一粒麦粒，第二格放两粒麦粒，第三格放(4)粒，每一格所放麦粒数是上一格的两倍，直至放满(64)格。国王觉得简单就同意了，可找来数学家计算后，结果让他大吃一惊，这是个无法满足的要求。
师：为什么会这样呢？我们先看第一个问题，棋盘格里所放麦粒数(1)、(2)、(2^2)直至(2^{63})是个什么样的数列？有什么特征？西萨已经说得很清楚，每一格麦粒数是上一格的两倍，满足等比数列定义，所以这是一个首项为(1)，公比为(2)的等比数列。
师：第二个问题，(1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{63})归结为什么数学问题呢？它是刚才说的等比数列的前(64)项和。所以我们要思考，如何求等比数列的前 n 项和？我们回想一下，等差数列前 n 项和是用倒序相加法求的。
师：为什么等差数列能用倒序相加法呢？因为等差数列中，第一项加第 n 项与第二项加第(n - 1)项，直至第 n 项加(A_1)，它们的和都相等。所以把两个和式相加，得到(2)倍的(S_n)是(n)倍的(A_1 + a_n)的和，由此推导出等差数列前 n 项和公式为首项加末项乘以项数除以(2)，再用通项公式将(a_n)代换，得到常见的前 n 项和公式。
师：那等比数列能不能用倒序相加法求前 n 项和呢？数学方法要看是否符合其使用条件。等比数列满足倒序相加的条件吗？显然，(1 + 2^{63})与(2 + 2^{62})不相等，倒序相加法不能用了。但数学思想不变，我们还是从数列本身特征出发，看怎么化繁为简解决问题。
师：我们回到(S_{64})，(S_{64} = 1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{63})，这里每一项有什么特征，它们之间有什么联系呢？因为是等比数列，每一项与前一项比值为(2)，也就是每一项乘以(2)会成为后一项。写成算式，(2S_{64} = 2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{64})。大家观察这两个式子，发现很多项在两式中都有，是完全相同的。这时答案就有了，将两式相减，用(2S_{64} - S_{64})，相同项抵消，得到(S_{64} = 2^{64} - 1)，就解决了这个问题。
师：对于一般的等比数列，它的前 n 项和怎么计算呢？我们把它写成(S_n = A_1 + A_1q + A_1q^2 + \cdots + A_1q^{n - 1}) ①。仔细观察①式，前一项乘以(q)变成下一项，等式两边同乘以(q)得到(qS_n = A_1q + A_1q^2 + A_1q^3 + \cdots + A_1q^{n}) ②。①式和②式有很多相同项，错位放置②式，上下对应相等的项可相互抵消。两式相减，①式两边分别减去②式两边，得到((1 - q)S_n = A_1 - A_1q^n)。
师：这里能不能两边同除以(1 - q)得到(S_n)的值呢？不行，因为(1 - q = 0)时不能相除。所以同学们要记住，只有当(q \neq 1)时，等比数列前 n 项和公式才是(\frac{A_1(1 - q^n)}{1 - q})。我们把这种方法称为错位相减法。如果(q = 1)，数列是个非零常数列，前 n 项和就是(nA_1)。
师：我们再整理一下，当公比不为(1)时，通过错位相减得到等比数列前 n 项和(S_n = \frac{A_1(1 - q^n)}{1 - q})；公比为(1)时，(S_n = nA_1)。因为(a_n = A_1q^{n - 1})，所以(S_n)还可以写成(\frac{A_1 - a_nq}{1 - q})。做题时，同学们可以选择更合适的公式解答。下面我们来看几个判断。
师：第一题，(1 - 2 + 4 - 8 + \cdots + (-2)^{n - 1} = \frac{1 - \frac{1}{2}(1 - 2^n)}{1 - 2})。用等比数列前 n 项和公式时，要注意首项(A_1)、公比(q)和项数(n)。左式是首项为(1)，公比为(-2)的数列前 n 项和，右式错了，因为公比是(-2)，一减去的应当是(( - 2)^n)，不是(2^n)，所以这道题错误。
师：再看第二题，(1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^n = \frac{1 - \frac{1}{2}(1 - 2^n)}{1 - 2})吗？左式数列首项为(1)，公比为(2)，看似正确。但仔细看，从(2^0)到(2^n)有(n + 1)项，右式应当是(\frac{1 - \frac{1}{2}(1 - 2^{n + 1})}{1 - 2})，所以还是错误的。
师：第三题，若(c \neq 0)且(c \neq 1)，(c^2 + c^4 + \cdots + c^{2n} = \frac{c^2(1 - c^{2n})}{1 - c^2})吗？左式首项是(c^2)，公比是(c^2)，(c \neq 0)，确实是等比数列和，从(c^2)到(c^{2n})是(n)项，右式对吗？不对。除了首项、公比、项数要清楚，等比数列前 n 项和公式有个前提是公比不为(1)。这里公比是(c^2)，若(c = - 1)，(c^2 = 1)，不能用这个公式，所以第三个还是错误的。
师：回到最初说的麦粒问题，用今天推导的公式计算，这是首项为(1)，公比为(2)的等比数列前(64)项和。根据公式(S_{64} = \frac{A_1(1 - q^n)}{1 - q})，代入值得到(S_{64} = 2^{64} - 1)，这个数大于(1.84×10^{19})。估计千粒麦子质量为(40)克，这些麦粒总质量超过(7000)亿吨，是全球麦粒年产量(1000)多倍，所以国王不可能实现诺言。
师：下面看几道例题。例一，求下列等比数列前(8)项的和。第一小题，(\frac{1}{2})，(\frac{1}{4})，(\frac{1}{8})。第二小题，(A_1 = 27)，(A_9 = \frac{1}{243})，公比小于(0)。
师：第一题是基本题，分析基本量。首项(A_1 = \frac{1}{2})，公比(q = \frac{1}{2})，前八项和代入求和公式(S_8 = \frac{\frac{1}{2}(1 - (\frac{1}{2})^8)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{255}{256})。
师：第二小题，虽然没给公比，但可通过(A_1 = 27)，(A_9 = \frac{1}{243})算出公比(q = - \frac{1}{3})。注意公比是负值不影响公式代入，代入等比数列前八项和公式(S_8 = \frac{27[1 - ( - \frac{1}{3})^8]}{1 - ( - \frac{1}{3})} = \frac{81640}{81})。
师：例二，已知({a_n})是等比数列，(a_2 = 2)，(a_5 = \frac{1}{4})，求(a_1a_2 + a_2a_3 + \cdots + a_na_{n + 1})的值。
师：要求数列和，先得知道这是什么数列，能用什么公式，那就得看通项。所以先求(a_na_{n + 1})，这得先求出(a_n)。由题意，这是等比数列，根据(a_2 = 2)，(a_5 = \frac{1}{4})，可得公比(q = \frac{1}{2})，首项(a_1 = 4)，所以(a_n = 4×(\frac{1}{2})^{n - 1})。
师：那么(a_na_{n + 1})呢？代入通项公式，(4×(\frac{1}{2})^{n - 1}×4×(\frac{1}{2})^n = 2^{5 - 2n})。等比数列学得好的同学可能一眼看出这是等比数列通项，看不出来也没关系，做变形处理。(2^5 = 32)，(2^{-2n} = (\frac{1}{4})^n)，所以(2^{5 - 2n} = 32×(\frac{1}{4})^n = 8×4×(\frac{1}{4})^n = 8×(\frac{1}{4})^{n - 1})，可以看出这是首项为(8)，公比为(\frac{1}{4})的等比数列。