师：同学们好，在正式上课之前，我们先来看一个小视频。
（视频播放）
师：“小心脚下。”“怎么受伤了？走，回家让你娘包扎一下。”“爸爸手怎么样了？爹，您快看。”“诶，你是怎么做到的？你看爹我就是被这野草上像锯齿一样的绒毛割伤的，所以就照着野草做了这个竹片。用这种带锯齿的竹片砍树，定比斧头要快，还更加省力。爹我试过了，这竹片虽然锋利，但是不经用，要是换成铁片就能砍树了。”
师：鲁班的思路是这样的，野草是齿形的，野草能割破手，我需要一种工具，要能割断木头，它也可以是齿形的。通过这种对比带来的启发，鲁班发明了锯子。同学们，你能举出类似的例子吗？
生：仿照鱼类的外形和它们在水中沉浮的原理，人类发明了潜水艇。
师：非常好。科学家研究火星，发现火星与地球有许多类似的特征。火星也是绕太阳运行、绕轴自转的行星，也有大气层，在一年中有季节变更，火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等等。科学家猜测火星上也可能有生命的存在。从以上这些例子可以发现，利用已知事物的特征可以类比发现另一类事物的特征，这就是今天我们要学习的类比推理。类比推理是这样定义的：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，这种推理过程称为类比推理。类比推理是两类事物特征之间的推理。类比推理的基本逻辑形式是：A 类事物具有性质 a、b、c、d，B 类事物具有性质 a’、b’、c’。如果 a、b、c 与 a’、b’、c’相似或相同，就可以猜测 B 类事物可能具有性质 d’。类比推理的一般步骤是：一、找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；二、用一类对象的已知特征去推测另一类对象的已知特征，从而得到一个猜想，即观察、比较、联想、类推、猜想新结论。那在上节课中，我们意识到归纳推理所得的结论不一定正确，那类比推理所得到的结论是否一定是正确的呢？同学们可以思考一下。我们来看这样一个例子，在平面几何中，同时垂直于一条直线的两条直线互相平行。类比到空间中的结论是，空间中垂直于同一条直线的两条直线互相平行，那么这个结论正确吗？
生：不正确，在立体几何中，空间中垂直于同一条直线的两条直线的位置关系不止一种，它们可能互相平行，也可能相交或异面。
师：由此可见，类比推理的结论也不一定可靠。了解了类比推理的相关概念及推理的步骤之后，下面我们尝试用这种推理方法来解决一些问题。首先来看探究一：类比实数的加法和乘法，请列出它们相似的运算性质。
生：加法和乘法都是实数参与的运算，它们都有交换律和结合律。
师：非常好，它们之间的类比是方法的类比，我们还可以用它来解决其他问题。如例一，在这个题目中，我们可以看到题目所给的和要求的都是和的形式，一个是一次幂求和，一个是二次幂求和。而对于这个(1 + 2 + 3 + \cdots + n)的求和题目，所采用的方法是利用累加整体求级数，累加前的各式是平方差公式。此过程我们可以猜想要求(1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2)，我们也可以利用累加法来进行求和。而累加前的式子应该是由平方差公式变成立方差公式，即((n + 1)^3 - n^3 = 3n^2 + 3n + 1)，(n^3 - (n - 1)^3 = 3(n - 1)^2 + 3(n - 1) + 1)，以此类推，(2^3 - 1^3 = 3×1^2 + 3×1 + 1)。将以上各式相加，左边剩下的是((n + 1)^3 - 1)，右边的式子可以进行整理：(3×(1^2 + 2^2 + \cdots + n^2))（这也是我们所要求的式子）加上(3×(1 + 2 + \cdots + n))（这是题目给的），最后再加(n)。现在既然看到了我们所要求解的式子，我们只需要把它移项整理即可。得到(1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{1}{3}×((n + 1)^3 - 1) - 3×\frac{n(n + 1)}{2} - n)。经过整理，我们可以得到最终的结果是(\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6})。
在解决这个问题的过程当中，我们就将题目已知的过程和我们所求解的过程进行了类比，利用旧的知识帮助寻找思路，或者将原问题降低难度，先解决较简单的问题，再类比到复杂问题，常常可以达到柳暗花明的成效。接下来我们继续研究等差数列与等比数列的类比。我们知道等差数列与等比数列是数列中的两类特殊的、重要的数列。之前等比数列的学习就是类比等差数列进行的。我们可以得到它们有很多相似的性质，比如已知(m)、(n)、(p)、(q)都是正整数，且(m + n = p + q)。若数列({a_n})为等差数列，则(a_m + a_n = a_p + a_q)。对比上述性质，在等比数列({b_n})当中，我们可以得到的结论是什么呢？
生：(b_m×b_n = b_p×b_q)。
师：非常好。那么除了这个性质之外，其实等差数列和等比数列还有很多类似的性质。在下面这个表格当中已经逐一列举出来，同学们阅读表格，回忆一下在之前的学习中，我们是如何类比得到这些性质的。
同学们，其实等差数列和等比数列可以类比研究的内容还有很多，下面我们一起研究例二。同学们先读题思考。
（学生读题思考）
师：我们一起来完成这个问题。题目告诉我们在等差数列({a_n})当中，(a_{10} = 0)，所以我们可以得到(2a_{10} = 0)，即(S_{19} = 0)。同样我们还有(a_1 + a_{19} = 0)，(a_2 + a_{18} = 0)，这样的关系我们可以写出很多。由这些等式我们可以进一步推得(a_1 = -a_{19})，(a_2 = -a_{18})，即(a_n = -a_{20 - n})。那么由(S_{19} = 0)，我们可以得到(a_1 + a_2 + \cdots + a_n + a_{n + 1} + \cdots + a_{18} + a_{19} = 0)，我们把这个式子进行移项，得到(a_1 + a_2 + \cdots + a_n = -a_{n + 1} - a_{n + 2} - \cdots - a_{18} - a_{19})。那么根据刚才我们已经推导的性质，(-a_{19})可以换成(a_1)，(-a_{18})可以写成(a_2)，(-a_{n + 1})可以写成(a_{19 - n})，那么这样的话，我们就看到了题目当中所给的这个等式是这样来的。为什么在这我们要给出这个等式的推导过程呢？是因为只有我们知道了这个等式是怎么推导的，我们才能类比它来完成等比数列的性质推导。