师：同学们好，今天我们来学习北师大版选修2 - 2第四章第1.2节定积分。首先，我们复习上节课内容。上节课我们通过已知带区的极限方法，解决了求曲边梯形的面积和非匀速运动物体的路程问题。可以看出，解决这两个问题都用到了相同的方法和步骤，具体是哪几个步骤呢？我们一起来回顾一下。
第一步，分割。把区间分成n份，面积和路程也随之被分割成n部分。分割时，可以等分，也可以不等分。
第二步，近似代替。在每一个小区间上，用小矩形的面积代替小区边梯形的面积；求路程时，用匀速运动的路程代替非匀速运动的路程。
第三步，求和。求出面积和路程的过剩估计值和不足估计值。
第四步，取极限。当分割的最大小区间的长度趋于0时，估计值就会逼近我们所求的值。由此可见，求曲边梯形的面积和求非匀速运动物体的路程问题，最终都归结为求一个特定形式和的极限。实际上，许多数学问题都能转化为求这种特定形式和的极限。接下来，我们根据这两个具体问题，抽象概括出一般的数学结论，请同学们打开课本第78页。
一般地，设函数(y = f(x))在区间([a,b])上的图像如图所示。
第一步，分割。将区间([a,b])分成n份，记(a = x_0\lt x_1\lt x_2\lt\cdots\lt x_n)，右端点(b = x_n)。设第(i)个小区间的长度为(\Delta x_i)，(\Delta x_i = x_i - x_{i - 1})，(i = 1,2,3,\cdots,n)。
第二步，近似代替与求和。在第(i)个小区间([x_{i - 1},x_i])上取一点(\xi_i)，使得它的函数值(f(\xi_i))是该区间上的最大值。用(f(\xi_i))代替该区间上的所有函数值，作和式(S_N)。
(S_N = f(\xi_1)\Delta x_1 + f(\xi_2)\Delta x_2 + \cdots + f(\xi_n)\Delta x_n)。
同学们看，这个(S_N)是不是相当于我们求曲边梯形面积的过剩估计值呀？同样地，在区间([x_{i - 1},x_i])上取一点(\zeta_i)，使得它的函数值(f(\zeta_i))是该区间上的最小值。用(f(\zeta_i))代替该区间上的所有函数值，作和式(s_N)。
(s_N = f(\zeta_1)\Delta x_1 + f(\zeta_2)\Delta x_2 + \cdots + f(\zeta_n)\Delta x_n)。
同学们看，这个(s_N)是不是相当于我们求曲边梯形面积的不足估计值呀？
第三步，取极限。如果每次分割后最大的小区间的长度趋于0时，我们会发现(S_N)与(s_N)的差也会趋于0。也就是说，(S_N)和(s_N)会向同一个常数无限逼近。容易验证，在第(i)个小区间([x_{i - 1},x_i])上任取一点(\delta_i)，用它的函数值(f(\delta_i))代替该区间上的所有函数值，作和式(S)。
(S = f(\delta_1)\Delta x_1 + f(\delta_2)\Delta x_2 + \cdots + f(\delta_n)\Delta x_n)。
当最大小区间的长度(\Delta x_i)趋于0时，这个(S)也会趋近于上面的那个常数(a)。那么，我们就把这个常数(a)叫做函数(y = f(x))在区间([a,b])上的定积分，记作(\int_{a}^{b} f(x)dx = a)，这就是定积分的概念。
同学们可以看出，(f(x))在([a,b])上的定积分是一个常数，是和式(S)无限逼近的一个常数。下面我们介绍一下这个新记法里各个部分的名称。这个符号(\int)称为积分号，它是字母(s)的拉长，我们知道英语单词“总和”的首字母是(s)，拉长后就是我们的积分号。(a)称为积分下限，(b)叫做积分上限，函数(f(x))叫做被积函数，(x)叫做积分变量，区间([a,b])叫做积分区间，(f(x)dx)叫做被积式。注意，(dx)是个整体，拆开来写就没有意义了。下面我们对定积分的概念再做几点简单说明。
第一，(f(x))在([a,b])上的定积分是一个常数，是和(S_N)无限接近的常数，它不是(S_N)。
第二，利用定义求定积分的值，需要四个步骤：分割、近似代替、求和、取极限。
第三，求定积分的值时，其值只和被积函数与积分区间有关，和积分变量用什么字母表示无关。例如(\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{b} f(t)dt = \int_{a}^{b} f(u)du)等等。根据定积分的概念，我们前面第1.1节所学的求曲边梯形的面积和求非匀速运动物体的路程，都可以写成定积分的形式。下面我们来看，抛物线(f(x) = x^2)，在直线(x = 1)及其(x)轴所围成的曲边梯形的面积(S)，就可以记作定积分的形式，(S = \int_{0}^{1} x^2dx)。非匀速运动的汽车在(t\in[0,5])这个时间段内的路程(s)，也可以记作定积分的形式，(s = \int_{0}^{5} (t^2 - 10t + 25)dt)。下面我们一起来了解一下定积分的意义以及它的发展历程。
定积分是微积分的一部分，微积分的创立是数学史上具有划时代意义的创举。如今，微积分是科学技术以及自然科学各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具。例如在物理学中，气象弹道的精确测量计算、运动状态的分析等都要用到微积分。微积分是微分学和积分学的总称，它是一种数学思想，无限细分就是微分，无限求和就是积分。积分包括今天我们所学的定积分，还有不定积分。它的发展可以分为三个阶段：古希腊的准备阶段、17世纪的创立阶段、19世纪的完成阶段。很多数学家在微积分学中都有突出贡献。例如早期德国的开普勒、法国的费尔马，特别是创立阶段英国的牛顿、德国的莱布尼茨，这两人开启了微积分的大门。下节课我们还要学习以这两人名字命名的一个非常重要的定理。后来又经过柯西等众多数学家的努力，微积分的理论基础才算基本完成。
古代中国的微积分思想也毫不逊色于西方。在公元前7世纪的《庄子》里，就有“一尺之捶，日取其半，万世不竭”的极限思想。还有公元前4世纪的《墨经》，里面有了有穷、无限、小无穷、大极限、顺势等概念。还有刘徽的《九章算术》、祖暅原理、秦九韶的《数书九章》、沈括的《梦溪笔谈》等等，这些著作中都体现了微积分的思想。课下请同学们查阅相关资料，了解定积分的意义以及它具体的发展历程。
根据刚刚学习的定积分的概念，我们知道求曲边梯形的面积可以表示为定积分的形式。反过来，定积分也可以用曲边梯形的面积来表示。当函数(f(x)\geq0)时，(\int_{a}^{b} f(x)dx)在几何上表示由曲线(y = f(x))，直线(x = a)，(x = b)以及(x)轴所围成的曲边梯形的面积。如图所示，当(f(x)\geq0)时，曲边梯形位于(x)轴上方，此时按照定积分的概念，(\int_{a}^{b} f(x)dx\geq0)，所以这时(\int_{a}^{b} f(x)dx)等于曲边梯形的面积，这就是定积分的几何意义。