师：同学们好，前面几节课我们学习了导数的概念和基本初等函数的导数公式。对于基本初等函数，它们能通过加、减、乘、除运算构成新函数，比如(F(x)=x + x^{2})。那这类新的或较为复杂函数的导数，要怎么利用导数公式求呢？这就是我们这节课要学的内容——导数的加法与减法法则。
首先，我们复习一下如何利用导数的定义求函数的导数。学习导数概念时，我们由平均变化率，通过极限思想得到瞬时变化率，进而求得函数在一点处的导数。如果函数在所给区间上每一点都有导数，就得到了这个函数的导函数，简称导数。所以，若想利用定义求函数(y = F(x))的导数，第一步要求函数的增量(\Delta y)，(\Delta y = F(x + \Delta x) - F(x))，这里(\Delta x)是自变量的改变量。第二步求平均变化率，即函数增量与自变量增量的比值，(\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{F(x + \Delta x) - F(x)}{\Delta x})。第三步求极限，当(\Delta x)趋于(0)时，平均变化率就转换成了瞬时变化率，进而得到函数的导数(y' = F'(x))。
好，接下来我们回顾一下导数公式表，这里三角函数的自变量单位是弧度。常数函数的导数是(0)；幂函数(y = x^{\alpha})（(\alpha)是实数），导数是(\alpha x^{\alpha - 1})；指数函数(y = a^{x})（(a > 0)且(a \neq 1)），导数是(a^{x}\ln a)，特别地，(e^{x})的导数仍是(e^{x})；对数函数(y = \log_{a}x)（(a > 0)且(a \neq 1)），导数是(\frac{1}{x\ln a})，特别地，(\ln x)的导数是(\frac{1}{x})。
接下来是三角函数，正弦函数(y = \sin x)，导数是(\cos x)；余弦函数(y = \cos x)，导数是(-\sin x)；正切函数(y = \tan x)，导数是(\frac{1}{\cos^{2}x})；余切函数(y = \cot x)，导数是(-\frac{1}{\sin^{2}x})。在导数公式表中，常数函数、幂函数、正弦函数和余弦函数这些常见函数的导数公式，同学们要格外注意。
通过复习，回到开头的问题，如果已知两个函数的导数，怎么求这两个函数和或差的导数呢？已知(y = x)与(y = x^{2})这两个函数的导数，如何求函数(y = F(x) = x + x^{2})的导函数呢？大家一起探究一下，利用导数的定义求函数(y = F(x) = x + x^{2})的导函数，同学们先自己做一做。
好，我们一起来看。按照求函数导数的步骤，先给定自变量(x)一个改变量(\Delta x)，则函数值(y)的改变量为(\Delta y = F(x + \Delta x) - F(x))，代入函数(F(x) = x + x^{2})的解析式，可得(\Delta y = (x + \Delta x)^{2} - (x + x^{2}))，经过化简，(\Delta y = \Delta x + 2x\Delta x + (\Delta x)^{2})。
相应的平均变化率(\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta x + 2x\Delta x + (\Delta x)^{2}}{\Delta x} = 1 + 2x + \Delta x)。当(\Delta x)趋于(0)时，就得到导函数(F'(x) = 1 + 2x)。
我们知道(x)的导数是(1)，(x^{2})的导数是(2x)，(x)的导数与(x^{2})的导数之和等于(1 + 2x)，恰好等于(x)与(x^{2})和的导数。所以可以得出(x)与(x^{2})和的导数等于(x)导数与(x^{2})导数的和。通过这个实例，我们抽象概括出：两个函数和的导数，等于这两个函数导数的和，即((F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x))；同样，两个函数差的导数等于这两个函数导数的差，即((F(x) - G(x))' = F'(x) - G'(x))。这就是我们这节课要学的导数的加法与减法法则。
例一，求下列函数的导数。
(y = x^{2} + 2^{x})
(y = \sqrt{x} - \ln x)
请同学们先想一想。
好，我们来看第一题，(y = x^{2} + 2^{x})，要求这个函数的导数，先分析函数结构。函数(y = x^{2} + 2^{x})是函数(F(x) = x^{2})与(G(x) = 2^{x})的和，我们根据导数公式表分别求出(F'(x))与(G'(x))。(F(x) = x^{2})是幂函数，其导数为(2x)；(G(x) = 2^{x})是指数函数，其导数为(2^{x}\ln 2)。然后利用函数和的求导法则，可得((x^{2} + 2^{x})' = F'(x) + G'(x) = 2x + 2^{x}\ln 2)。
第二题，(y = \sqrt{x} - \ln x)。同样，函数(y = \sqrt{x} - \ln x)是函数(F(x) = \sqrt{x})与(G(x) = \ln x)的差。先将(F(x) = \sqrt{x})化简成分数指数幂的形式，(F(x) = x^{\frac{1}{2}})，由幂函数的导数公式可得其导数为(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}})，(G(x) = \ln x)的导数为(\frac{1}{x})。然后利用函数差的求导法则，可得((\sqrt{x} - \ln x)' = F'(x) - G'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x})。
变分训练一
第一题，函数(y = x(x^{2} + 1))的导数为？要求这个函数的导数，先分析函数结构，此函数既有加法运算又有乘法运算。根据现有知识，先将它化为基本初等函数和的形式，(y = x(x^{2} + 1) = x^{3} + x)。然后利用导数公式和两个函数和的求导法则，可得其导数为((x^{3})' + x' = 3x^{2} + 1)，所以这题答案选(C)。
第二题，使得函数(y = \frac{1}{x} + \ln x)的导数等于(0)的(x)值有几个？先求函数(y = \frac{1}{x} + \ln x)的导数，它是两个函数和的形式，根据导数公式表分别求出所包含基本初等函数的导数，再利用两个函数和的求导法则，可得其导数为((\frac{1}{x})' + (\ln x)' = -\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x})。令导函数等于(0)，解方程(-\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} = 0)，可得(x = 1)，所以这题答案是(x)的值有一个。
课堂练习，求下列函数的导数。
(y = \sqrt[3]{x^{2}} - \sin x)
(y = \frac{1}{x} + \log_{3}x + e^{x})