师：同学们大家好，今天我们来学习导数的乘法与除法则。首先，回顾一下上节课所学内容，导数的加法和减法法则：两个函数的和或差的导数，等于这两个函数导数的和或者差。想必很多同学都迫不及待想知道，两个函数的积或者商的求导法则是什么样的。大家再观察一下和与差的求导法则，能不能对积或者商的求导法则做出大胆猜想呢？我想，应该有不少同学会这样猜：两个函数的积，它的导数等于这两个函数导数的积；两个函数的商的导数，等于它们导数的商。那么，这种猜想正确吗？带着这个疑问，我们一起来探究。
这里给出函数(y = f(x) \times g(x))，令(g(x) = x^2)。现在对这个函数求导，大家想想求导要经过哪些步骤？第一步做什么？第二步做什么？第一步是不是给自变量(x_0)一个改变量(\Delta x)，然后求出函数值的变化量(\Delta y)，进而写出平均变化率(\frac{\Delta y}{\Delta x})。
请大家观察这个式子，如果不对分子进行变形，接下来很难得出想要的结果。刚才猜想过程中，很多同学都不由自主地想把它与(f(x))和(g(x))的导数建立联系，这也为我们在此处的变形指明了方向。按照这个思路，我们进行如下变形：分子减(f(x_0) \times (x_0 + \Delta x)^2)，后面再加上它，然后进一步变形处理。接下来，对这个式子取极限就能得到想要的结果。我们把这个式子分成三部分，分别取它们的极限，这是第一部分，这是第二部分，这是第三部分。大家看，分别求出这三部分的极限，这个极限不正是我们想要的吗？(f^\prime(x_0))，把这三块极限代入刚才的式子，不难得出此函数在(x_0)处的导数值为(x_0^2 \times f^\prime(x_0) + 2x_0 \times f(x_0))。所以(x^2 \times f(x))这个函数的导函数为(x^2 \times f^\prime(x) + (x^2)^\prime \times f(x))。
大家都知道，这里的(x^2)就是刚才讲的(g(x))。观察它的导函数，由此能不能总结概括一下两个函数积的求导法则呢？(f(x) \times g(x))积的导数等于(f^\prime(x) \times g(x) + f(x) \times g^\prime(x))。特别地，当(g(x))是某个常数(k)时，(k \times f(x))的导数等于(k \times f^\prime(x))。
现在我们已经推导出两函数积的求导法则，那两函数商的求导法则又该如何推导呢？按照刚才相似的原理，最终也不难得出(\frac{f(x)}{g(x)})商的导数是(\frac{f^\prime(x) \times g(x) - f(x) \times g^\prime(x)}{g(x)^2})。以上就是推导过程以及两函数积与商的求导法则。接下来给大家一点时间，回顾一下刚才的推导过程。
师：好，大家看例3，对下列函数求导。例3有三个小题，仔细观察它们的结构形式，会发现都是形如(f(x) \times g(x))的函数，该如何求导呢？
师：先看第一小题，函数(y = x^2 \times e^x)，它是函数(f(x) = x^2)与(g(x) = e^x)之积。接下来对这两个函数分别求导，看看导函数是多少？(f(x))导函数是(2x)，它是幂函数形式；(g(x))导数是(e^x)，是指数函数。因为是乘积形式，要用到乘法求导法则，最终整理化简可得它的导函数是((2x + x^2)e^x)。大家做对了吗？相信很多同学都能做对。
师：接着看第2小题。(y = \sqrt{x} \times \sin x)，先分析结构形式，(f(x))是(\sqrt{x})，(g(x))是(\sin x)，(f(x))是幂函数，(g(x))是三角函数。一定要牢记基本初等函数求导公式，分别求出它们的导函数。(f(x))导数是(\frac{1}{2\sqrt{x}})，(g(x))导数(\cos x)。利用两函数乘积求导法则代入化简，可得最终导函数是(\frac{\sin x}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cos x)，还是两函数之积形式，这是积的求导法则的应用。
师：第3小题。(y = x \times \ln x)，此时(f(x))是(x)，(g(x))是(\ln x)，(f(x))是幂函数，(g(x))是对数函数，分别求导。(f(x))导数是(1)，(g(x))导数是(\frac{1}{x})。利用乘法求导法则，(x \times \ln x)的导数等于(1 \times \ln x + x \times \frac{1}{x} = \ln x + 1)，这就是它的导函数。大家一定要记住基本初等函数求导公式，还有刚讲的两函数积的求导法则。
师：再看例4，有两个小题，此时是(\frac{f(x)}{g(x)})的形式，情况变了，该如何求导呢？首先是不是要明确函数结构形式？
师：看第一小题，此时(f(x))是(\sin x)，(g(x))是(x)，是它们商的形式。对它们求导函数，(f(x))导函数是(\cos x)，(g(x))导函数是(1)。利用商的求导法则，整理化简可得(\frac{x \cos x - \sin x}{x^2})。同学们做对了吗？
师：第二小题，函数(y = \frac{x^2}{\ln x})，是函数(f(x) = x^2)和函数(g(x) = \ln x)之商。根据导数公式表分别求得(f(x))导数是(2x)，(g(x))导数是(\frac{1}{x})。由求导的四则运算法则可知，(\frac{x^2}{\ln x})的导数最终化简整理得(\frac{x(2\ln x - 1)}{(\ln x)^2})。刚才有同学处理方式和我们一样，先明确结构形式是(\frac{f(x)}{g(x)})，(f(x))是(x^2)，(g(x))是(\ln x)，各自求导，然后利用除法求导法则，最后化简整理得到结果。