师：同学们好，欢迎大家进入数学课堂，今天我们共同复习变化率与导数。首先明确学习目标：
一、导数概念。通过具体情境体会平均变化率、瞬时变化率和导数的实际意义，理解导数概念，掌握导数的几何意义。
二、导数运算。
掌握求导的四则运算法则，利用导数的四则运算法则及导数公式表求出函数的导数，并解决简单的求曲线切线问题。
了解简单复合函数的求导法则，利用导数公式表求出一些简单复合函数的导数。
下面我们来看本章知识框图。第一节变化的快慢与变化率，讲到运动的平均速度、运动的瞬时速度以及函数的平均变化率。第二节导数的概念及几何意义，导数的几何意义即切线的斜率。第三节计算导数，我们计算了常数及幂函数的导数以及基本初等函数的导数。第四节导数的四则运算法则，讲到导数的加法及减法法则、乘法及除法法则，最后讲到复合函数求导法则。
接下来回顾本章重要知识点：
一、导数的概念及几何意义。函数(y = f(x))在(x = x_0)处的瞬时变化率，就是函数(y = f(x))在(x = x_0)处的导数，其瞬时变化率为(\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x})，记作(f^\prime(x_0))或(y^\prime|_{x = x_0})，即在(x_0)处的导数值等于函数在(x_0)处的瞬时变化率。
导数的几何意义：(\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x})实际上是割线的斜率，当(\Delta x \to 0)时，它逐步逼近切线的斜率，这就是导数的几何意义。也就是说(f(x))在(x_0)处的导数值，即是(f(x))在点(P)处的切线斜率。相应的切线方程为(y - y_0 = f^\prime(x_0)(x - x_0))。要注意曲线(y = f(x))在点(P)处的切线，是以(P)为切点，(f^\prime(x_0))为切线斜率的唯一一条切线。
二、导函数的概念。我们称函数(f^\prime(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x})为(y = f(x))的导函数，其中(x)可取定义域内任意值。要区分清楚(f^\prime(x))是函数，(f^\prime(x_0))是函数(y = f^\prime(x))在(x_0)处的函数值，是一个常数。
三、基本初等函数的求导公式。表格中有8个基本初等函数的求导公式，同学们要牢记，后续求导都要用到。
四、导数的运算法则。
加法或减法法则：((f(x) + g(x))^\prime = f^\prime(x) + g^\prime(x))，((f(x) - g(x))^\prime = f^\prime(x) - g^\prime(x))。
乘法法则：((f(x)g(x))^\prime = f^\prime(x)g(x) + f(x)g^\prime(x))，特别地，((kf(x))^\prime = kf^\prime(x))。
除法法则：((\frac{f(x)}{g(x)})^\prime = \frac{f^\prime(x)g(x) - f(x)g^\prime(x)}{g(x)^2})，分母(g(x) \neq 0)。
复合函数的导数。复合函数(y = f(g(x)))的导数与函数(y = f(u))与(u = g(x))导数间的关系为：(y)对(x)求导，等于(y)对(u)求导乘(u)对(x)求导，即(y^\prime_x = y^\prime_u \cdot u^\prime_x)。
再看一些常用结论：
奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数。
((\frac{1}{x})^\prime = -\frac{1}{x^2})，((\ln|x|)^\prime = \frac{1}{x})。
((\frac{1}{f(x)})^\prime = -\frac{f^\prime(x)}{f(x)^2})，分母(f(x) \neq 0)。
((af(x) \pm bg(x))^\prime = af^\prime(x) \pm bg^\prime(x))。
以上是本章主要知识点，下面看知识点的应用及常见考试类型。
第一种类型：导数的运算。
例1（1）：整体看函数是乘法结构，用乘法则。第一项((2x + 1)^2)是复合函数，设内层函数(u = 2x + 1)，外层函数为(u^2)。外层对(u)求导为(2u)，内层对(x)求导为(2)，则第一项导数为(4(2x + 1))。第二项(3x)导数为(\cos x)。所以求导结果为(4(2x + 1) \times 3x + (2x + 1)^2 \cos x)。
（2）：整体呈加法结构，用加法法则。第一项(\log(x + 1))是复合函数，设内层函数(u = x + 1)，外层函数(y = \log u)，其导数为(\frac{1}{u})，还原(u)得(\frac{1}{x + 1})。第二项(\frac{1}{x})导数为(-\frac{1}{x^2})。所以结果为(\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x^2})。
（3）：(y = \frac{\cos x}{e^x})是除法结构，用除法法则。(\cos 3x)导数为(-3\sin x)，(e^x)导数为(e^x)，分子分母约掉(e^x)，提取负号得(-\frac{3\sin x + \cos x}{e^x})。
（4）：对(\sin(2x + \frac{\pi}{2}))和(\cos(2x + \frac{\pi}{2}))用诱导公式，(y = -x\sin 2x \cos 2x)，再用二倍角公式降幂得(y = -\frac{1}{2}x\sin 4x)。求导得(-\frac{1}{2}(\sin 4x + 4x\cos 4x))。
这四个问题用到基本初等函数求导公式、四则运算法则及复合函数求导公式。