师：同学们，大家好。今天我们学习高中数学，北京师范大学出版社高二年级选修1-2第三章第一节第一课时——归纳推理。在日常生活和学习中，我们常常需要进行推理。比如，一个人看见一群乌鸦都是黑的，于是断言天下乌鸦都是黑的；每一位司机都应该遵守交通规则，小李是司机，所以小李应该遵守交通规则；如果a、b、c都是实数，且a大于b，b大于c，那么a大于c。这些都是推理。那什么是推理呢？推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。一般可分为合情推理和演绎推理。合情推理又可细分为归纳推理和类比推理。
例如：金受热后体积膨胀，银受热后体积膨胀，铜受热后体积膨胀，铁受热后体积膨胀。金、银、铜、铁是金属的部分小类对象。它们受热后分子的凝聚力减弱，分子运动加速，分子彼此距离加大，从而导致体积膨胀。我们就可以推出：一切金属受热后体积都膨胀。请同学们思考，这个推理的过程是怎样的？
生：我们是根据部分金属所具有的特征，推理出一切金属都具有这样一个特征。这可以看作是由部分到整体的推理过程。
师：很好。下面我们进入问题探究环节，请同学们观察下列等式，看看它们有什么特征。
生：通过观察，我们发现等式的左边是两个数的和，等式的右边都是偶数。
师：我们再来看等式的左边，这些数分别为3、5、7、11等等，它们都是些什么数？
生：它们都是奇数，而且都是素数。所以准确地讲，就是奇数素数。
师：为了方便总结规律，我们不妨把它们改写为这样的形式。我们再来看这个式子，左边的偶数是从6开始的。同学们可以思考一下，为什么不是从2或4开始，而是从6开始的呢？
生：我们知道2可以写成1+1，但是1不是素数。4可以写成1+3，或者写成2+2，但是2不是奇数。所以为了更准确地表达这个规律，这个偶数是从6开始的。
师：那我们就可以把这个规律总结为：大于4的偶数可以表示为两个奇素数的和。这就是著名的哥德巴赫猜想：任何一个大于4的偶数都可以写成两个奇素数的和。刚才我们已经解释了这个偶数为什么要大于4。请同学们思考，哥德巴赫是如何得出这个猜想的？
生：他是通过部分偶数或者个别偶数所具有的规律，大胆猜想出一个一般性的结论。所以这种推理是由个别到一般的推理。
师：这个猜想是否正确呢？人们验证了许多偶数都满足这个规律，但至今还没有得到完全证明，这个结论仍然是猜想。目前最佳的证明结果是由中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理。任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积，通常都简称这个结果为大偶数可表示为“1+2”的形式。他研究哥德巴赫猜想和其他数论问题的成就，当今仍然在世界上遥遥领先，被誉为哥德巴赫猜想第一人。所以同学们，作为一个中国人，我们应该感到骄傲和自豪。
以上例子所得的结果，都是用归纳的方法得到的，而且都是由部分或个别事物所具有的性质，推出一般事物所具有的性质。这种推理形式就是今天我们要学习的归纳推理。
根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，我们将这种推理方式称为归纳推理，简称归纳。归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。
通过以上的探究，我们可以归纳总结一下归纳推理的特点有哪些。首先，归纳推理的实质就是由部分到整体、由个别到一般的推理。其次，归纳推理的基础是实验和观察。那这里的关键是什么呢？关键是要认真地分析，仔细地归纳。归纳的目的就是为了发现新事实、新结论。
下面我们就用归纳推理的知识来解决一些例题。
例1：一个凸多面体中，通过归纳猜想其面数F、顶点数V、棱数E满足的关系。请同学们思考此题。
生：要想归纳猜想出多面体的面数、顶点数、棱数所满足的关系，我们可以先考察部分多面体，找出它们的面数F、顶点数V、棱数E的规律，然后进行归纳推理。
师：很好。我们分别考察一下多面体：三棱锥、四棱锥、三棱柱、五棱锥、长方体、八面体、五棱柱、斜角正方体和尖顶塔。请同学们把这些多面体的面数、顶点数、棱数统计出来，整理到下表中。
（学生思考并整理数据）
师：老师把这些数据整理出来了，大家可以作为一个参考。三棱锥、四棱锥、三棱柱、五棱锥、长方体、八面体、五棱柱、斜角正方体、尖顶塔的面数F、顶点数V和棱数E我们都整理出来了。接下来请同学们仔细观察分析表格当中的数据，去发现它们的规律。
生：通过分析，我们可以发现在三棱锥中，4+4-6=2；在四棱锥中，5+5-8=2；三棱柱中，5+6-9=2；在五棱锥中，6+6-10=2。计算下去发现其余的几个多面体也具有这样的规律，也就是说面数加顶点数减棱数等于2。于是我们就可以归纳猜想出这样一个结论：F+V-E=2。
师：这个猜想是否正确呢？其实这就是著名的欧拉公式，由欧拉在1752年独立地给出了证明。
在这个题目的解题过程中，我们通过收集数据、分析数据，然后进一步发现规律，最后得到一个一般性的结论，是通过归纳推理来得到结论的。其实归纳推理的形式在我们已学的知识当中也有体现，比如我们在学习数列的时候，常常用观察法来求数列的通项公式，观察法的实质也就是归纳推理。
下面我们来看一个具体的例子，请同学们认真思考。
例2：已知数列{an}满足a1=1，an+1=an/(1+an) (n∈N*)，求数列{an}的通项公式。
师：我们一起来看一下具体的解题过程。首先，由题目所给的条件，我们不难求出a2、a3、a4、a5的值。分别求出a2=1/2，a3=2/3，a4=3/4，a5=4/5。我们仔细地分析这些数据，看看它们有什么规律。
生：我们发现a1到a5这5个数可以写成分数的形式，且分子比分母小1，分母和对应的序号n是相等的关系。所以我们就可以归纳上述结果，猜测得到它的通项公式an=(n-1)/n。
师：从以上例题的解决过程中，我们可以总结一下归纳推理的一般步骤：第一步，实验观察；第二步，概括、推广；第三步，猜测一般性结论。
请同学们思考，我们用归纳推理所猜测得到的结论是不是一定正确呢？
我们先来看这几个等式：2^(2^1)+1=5，2^(2^2)+1=17，2^(2^3)+1=257，2^(2^4)+1=65537。发现这些等式的右边5、17、257、65537都是质数。于是我们就可以猜想：所有形如2^(2^n)+1的数都是质数。这就是著名的费马猜想，是由数学家费马提出来的。