师：同学们，在本章的前几节中，我们学习了综合法、分析法、反证法等证明数学命题的方法，感受到了数学的逻辑之美，这就是数学的语言。今天我们将共同学习一种与正整数 n 有关的证明方法。首先，同学们还记得我们刚开始学习等差数列时，是怎样猜想它的通项公式的吗？
生：在数列 {aₙ} 中，若 aₙ₊₁ − aₙ = d，其中 n 属于正整数集，则数列 {aₙ} 称为等差数列。所以 a₂ = a₁ + d，a₃ = a₂ + d = a₁ + 2d，a₄ = a₁ + 3d……我们根据有限项的特征归纳出 aₙ = a₁ + (n−1)d。
师：同学们想一想，刚才的过程解决了对每一个正整数 n 都成立的问题了吗？我们该怎样解决呢？
生：刚才的方法并没有解决每一个整数 n 的问题，因为 n 可能是无限大的。我有一个想法，能不能像物理中波形的传递一样，把数学关系传递下去？
师：这位同学迁移知识的能力很强，想到了物理中机械波传递的过程，把波形和能量传递下去。实际上，生活中这种形式的例子还有很多，比如我们这一章引言部分给出的图片——多米诺骨牌，很多同学都玩过这个游戏。现在我们把这个游戏抽象出来。根据多米诺骨牌现象的启发，我们思考一下：怎样才能保证所有的骨牌都倒下呢？
生：这里有一组骨牌，要想倒下去，第一块骨牌必须倒下，才能让整列骨牌获得能量得以传递。如果两个骨牌之间距离太远，无法通过第一块倒下砸倒下一块，然后第二块倒下砸倒第三块，以相同的形式往下传递的话，也不能保证所有骨牌都倒下。所以，相邻骨牌之间必须能够传递能量，而且以相同的形式往下传递。
师：很好。根据多米诺骨牌的规则以及其他类似现象，我们可以抽象出与正整数 n 有关的证明方法，这就是数学归纳法。数学归纳法是用来证明一个与正整数 n 有关的数学命题的一种方法。它的基本步骤是：第一步，验证 n = n₀ 时命题成立，完成整个证明的奠基工作，所以又叫做归纳奠基；第二步，在假设 n = k（k ≥ n₀）命题成立的前提下，推出当 n = k+1 时，命题也能够成立。根据 k 的任意性，就得以保证每一个前一项都能用相同的方法推出下一项的成立，完成归纳递推。类比多米诺骨牌的工作原理，我们可以想象，由上面的一、二两步，数学归纳法就可以证明命题对一切大于等于 n₀ 的正整数都成立。
同学们再体会一下数学归纳法证明的步骤，你能理解它的证明原理吗？原理是怎样工作的呢？
生：原理的第一步中 n = n₀ 成立，表示第一块骨牌倒下；原理的第二步保证了只要前一块倒下，后一块一定会被推倒。第一块推第二块，第二块推第三块，依次下去，再由正整数的连续性和无穷性，每一项就都能满足。
师：这位同学回答得非常好。根据正整数的连续性和无穷性，数学归纳法就是证明这种与正整数 n 有关的命题的数学方法。下面我们通过一个例题来体会一下数学归纳法证明的步骤。
例一：用数学归纳法证明，首项为 a₁、公差为 d 的等差数列的前 n 项和公式为 Sₙ = n a₁ + [n(n−1)/2] d，也就是我们熟悉的前 n 项和公式。我们要用刚学习的数学归纳法证明它对所有的 n 都成立。
第一步，当 n = 1 时，左边 S₁ 表示前一项的和，也就是 a₁；右边把 n = 1 代入，得 1·a₁ + (1×0/2)·d = a₁，左右相等，命题成立。
第二步，假设 n = k（k ≥ 1）时等式成立，即 Sₖ = k a₁ + [k(k−1)/2] d 成立。这是归纳假设。我们希望用它推出 Sₖ₊₁ 也成立。
当 n = k+1 时，Sₖ₊₁ = Sₖ + aₖ₊₁。把 Sₖ 的表达式代入，得：
Sₖ₊₁ = k a₁ + [k(k−1)/2] d + (a₁ + k d)。
化简：合并 a₁ 的项得 (k+1) a₁；合并 d 的项得 [k(k−1)/2 + k] d = [k(k−1)+2k]/2 d = [k(k+1)]/2 d = [(k+1)k]/2 d。
于是 Sₖ₊₁ = (k+1) a₁ + [(k+1)k]/2 d，这恰好是右边公式中 n = k+1 时的形式。所以当 n = k+1 时，等式也成立。
根据数学归纳法原理，由一、二可知，等式对任意正整数 n 都成立。
同学们回顾这个题的证明过程，你已经熟悉数学归纳法的证明步骤了吗？下面我们自主练习一下：用数学归纳法证明，首项为 a₁、公比为 q（q ≠ 1）的等比数列的前 n 项和公式为 Sₙ = a₁(1−qⁿ)/(1−q)，也就是我们熟知的公比不为 1 的等比数列前 n 项和公式。同学们自己在下面试一试吧。
（学生练习）
师：我们来看一下其中几位同学的解答。先看这位同学。
生：证明：当 n = 1 时，左边 S₁ = a₁，右边 = a₁(1−q¹)/(1−q) = a₁，左右相等，命题成立。
假设当 n = k（k ≥ 1）时成立，即 Sₖ = a₁(1−qᵏ)/(1−q)。