师：同学们，大家好。上节课我们学习了数学归纳法，并发起了一个小活动，让大家把平时遇到与数学归纳法有关的问题整理收集起来提交，一起研究。同学们热情很高，很多人都提交了自己的疑惑或发现。这节课，我们就来一起探究。首先，回忆一下数学归纳法主要解决什么类型的问题，它的步骤是什么？
生：数学归纳法是用来证明与正整数n有关的数学命题的方法。基本步骤是，第一步验证n = n?时命题成立，完成归纳奠基；第二步，假设n = k（k ≥ n?）时命题成立，推出n = k + 1时命题也成立，这样就能保证对于一切n ≥ n?的整数命题都成立。
师：非常好。在第一节中，我们发现了一个与n有关的恒等式：12 + 22 + … + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6 。学习了数学归纳法后，证明它就可作为结论。我们来看一位同学的证明。当n = 1时，左边 = 12，右边把n = 1代入是1/6 × 2 × 3，左右相等，完成归纳基础。这位同学这样写也算正确。第二步，假设n = k（k ≥ 1）时成立，即把归纳假设表示出来：左边12 + 22 + … + k2 = k(k + 1)(2k + 1)/6 ，这是n = k时已成立的，是n = k + 1证明时可用的条件。那么当n = k + 1时，左边 = 12 + 22 + … + k2 + (k + 1)2 。这位同学写得很好，体现出n从k到k + 1时左边代数式的变化，增加了一项(k + 1)2 。利用归纳假设，把前面12 + 22 + … + k2写成归纳假设的形式，再加上(k + 1)2 ，然后通分化简，提取(k + 1)，括号里面进行化简得2k2 + 7k + 6 。这位同学还做了十字分解，表示2k2 + 7k + 6可以写成(k + 2)(2k + 3) 。为满足右侧是n = k + 1代入的形式，把k + 2写成(k + 1) + 1，把2k + 3写成2(k + 1) + 1 。这个式子就恰好符合n = k + 1代入右侧的形式，即对n = k + 1时也成立，完成了第二步证明。根据归纳法原理，该等式对一切正整数n都成立。这位同学原理使用正确，书写工整。其他同学都完成了吗？上节课我们发起的活动，同学们提交了自己的发现或疑惑，选两位同学比较典型的问题来看。先看这位同学，他有什么疑惑？
生：我在做因式分解研究时，早就有个疑惑，a2 - b2 、a3 - b3 、a? - b?都能分解出a - b这个因式，但a? - b?我不会分解，这对一切正整数n都成立吗？
师：这位同学很积极。我们看看能否解答他的疑惑。a2 - b2可以用平方差公式分解成(a - b)(a + b)，即a2 - b2能被a - b整除；a3 - b3可以通过立方差分解出a - b这个因式；a? - b?也能分解。a? - b?不会分解，是不是对所有n都成立呢？我们把这个探究提炼成：对一切正整数n，a? - b?都能被a - b整除吗？再看另一位同学的探究。
生：我在做研究性课题——指数函数与幂函数增长快慢的比较时，遇到个问题，能证明2?与n2之间的大小关系吗？
师：这位同学在研究指数函数和幂函数大小比较过程中，分析了y = 2?和y = x2 ，还呈现了不同x取值时y值大小比较的表格。我们把他的发现提炼成：2?与n2的大小关系能确定吗？怎样证明？现在先探究：对一切正整数n，a? - b?都能被a - b整除吗？也就是都能分解出a - b这个因式吗？证明：当n = 1时，a - b显然能被a - b整除。假设当n = k（k ≥ 1）时，a? - b?能被a - b整除，这是归纳假设。那么当n = k + 1时，怎样证明a??1 - b??1也能被a - b整除呢？想一想，归纳假设中a和b都是k次方，这里是k + 1次方。所以先把a??1 - b??1写成a × a? - b × b?的形式。进而给它搭座桥，使前面两项a × a? - a × b?可以提取a，后面两项也可提取b? 。同学们，提取a后剩下什么？提取b?后剩下什么？提取后，这里有a? - b?，这就是归纳假设；a - b更熟悉，是归纳奠基。根据整除性质，是不是就能说明上式可被a - b整除？因为a? - b?和a - b都能被a - b整除，所以上面这个式子就能被a - b整除，即对n = k + 1时也成立，完成了第二步证明。根据归纳法，猜想对一切正整数n都成立。有困惑的这位同学，你的困惑解决了吗？下面分析证明过程，体会数学归纳法。刚才的证明不仅证了结论正确，还给出了证明方法。数学归纳法第二步由k的抽象性说明每一项和下一项证明方法相同，所以利用归纳假设递推n = k + 1。刚才同学说a? - b?不会分解，现在根据归纳递推证明方法来解决。把a? - b?写成a × a? - b × b? ，仿照证明用搭桥数，前面两项提取a，后面两项提取b? 。利用a? - b?同学已会分解，后面a - b显然可提取a - b这个因式。所以数学归纳法不仅传递结论，还传递方法。利用a? - b?完成了a? - b?的分解。再看下一个探究：2?与n2的大小关系能确定吗？怎样证明？刚才同学列的表格显示，当n = 1时，21 ＞ 12 ；n = 2时，22 = 22 ；n = 3时，23 ＜ 32 ；n = 4时，2? = 42 。前四项关系不明确。n = 5时，2? ＞ 52 ；n = 6时，2? ＞ 62 。还可继续列举。根据这些项，不妨猜想：当n ≥ 5时，2? ＞ n2 成立。根据第一节课学习的结论，这不可靠，若想说明成立，需用数学归纳法。下面尝试证明。当n = 5时，2? ＞ 52 ，证明了起始项，这里N?取5，因为猜想是n ≥ 5时不等式成立。第二步，假设当n = k（k ≥ 5）时，不等式成立，即2? ＞ k2 。那么当n = k + 1时，希望2??1大于多少？对，希望它大于(k + 1)2 。2??1怎样往(k + 1)2过渡呢？肯定要用归纳假设。把2??1写成2 × 2? ，因为2? ＞ k2 ，做大于号传递，它就大于2k2 。2k2 = k2 + k2 ，为什么拆成k2 + k2呢？因为目标是(k + 1)2 ，先隔离出一个k2 。因为k ≥ 5，把k2缩小成3k，于是它就大于k2 + 3k ，把3k写成2k + k 。一步步向目标迈进，再利用k ≥ 5，把k缩小成1，它就大于k2 + 2k + 1 。k2 + 2k + 1就是(k + 1)2 ，这不就证明了2??1 ＞ (k + 1)2 ，完成了第二步证明，即不等式对n = k + 1时也成立。所以根据归纳法，猜想对一切正整数n都成立。有同学说这里放缩法太难，想不到把k2缩小成3k，还拆成2k + k 。实际上这就是前几节学习的分析法思想，不妨从这位置用分析法证明一遍。归纳假设2? ＞ k2 ，当n = k + 1时，要证明2??1 ＞ (k + 1)2 ，只需证明2??1 - (k + 1)2 ＞ 0 。把2??1用归纳假设换掉，2??1 ＞ 2k2 ，所以只需证明2k2 - (k + 1)2 ＞ 0 。展开，只需证明k2 - 2k - 1 ＞ 0 。利用k ≥ 5这个条件以及二次函数性质，上式显然成立。这样就完成了原理第二步证明，即对n = k + 1也成立。同样，用数学归纳法证明了猜想对一切正整数n都成立。从n = k到n = k + 1这步证明，一定要用归纳假设，但证明方法多样，体现了数学证明方法的灵活性，可以用综合法、分析法，也可转化。这位同学，你的困惑解决了吗？下面共同探究。有同学用数学归纳法证明1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/2? ≥ 1 + n/2 这个不等式时，第二步证明如下：假设n = k时命题成立，即1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/2? ≥ 1 + k/2 ，这是归纳假设。那么当n = k + 1时，左侧1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/2? + 1/2??1 。同学们，一起看这位同学判断左侧变化的项正确吗？我们列举一下，n = k时，左边 = 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/2? ，注意，1 + 1/2后面加的是1/3，不是n = 2时的结果。n = k + 1时，左边应该是1 + 1/2 + 1/3 ，后面是1/4 ，1/4后面是1/5 、1/6等等，所以1/2?后面应该是1/(2? + 1) 、1/(2? + 2) ，一直到1/2??1 。这位同学没注意判断左侧增项，后面证明就无法进行了。实际上这个不等式是正确的，有兴趣的同学可自己尝试证明，这里不再展开。下面看课本上的例题，用数学归纳法证明(1 + α)? ≥ 1 + nα ，其中α ＞ - 1，n是正整数。这个不等式叫贝努利不等式。贝努利家族三代出了至少8位大科学家，在数学和物理高层研究中，会见到很多用它命名的定理、实验方程等。我们一起来感受经典、体验经典。第一步证明，当n = 1时，左边把n = 1代入，是1 + α ，右边把n = 1代入，也是1 + α ，等式成立，左右两边相等。假设n = k（k ≥ 1）时，命题成立，即(1 + α)? ≥ 1 + kα ，这是归纳假设。那么当n = k + 1时，目标是(1 + α)??1 。分析可知肯定要用归纳假设和不等式传递，先把(1 + α)拿出一个，它就等于(1 + α) × (1 + α)? 。下一步要用归纳假设往下传递，所以之前应准备好(1 + α)? ≥ 1 + kα ，不等式两边同时乘(1 + α) 。于是它就大于等于(1 + kα)(1 + α) ，相当于归纳假设两边同时乘(1 + α) 。有同学注意到，不等式两边同时乘一个数或代换式，不一定能保证不等号方向不变，所以要说明1 + α的符号。因为α ＞ - 1，所以1 + α ＞ 0，这一步就可传递过来。再乘开，等于1 + (k + 1)α + kα2 ，这里比目标多了kα2 。根据k和α2取值，kα2是非负数，所以(1 + α)??1完成传递，它大于等于1 + (k + 1)α ，原理第二步完成，不等式对n = k + 1时也成立。综上，该命题成立。回顾一下，整个题展现的是综合法证明过程，但思考时是从结果出发，一边分析一边证明，综合使用了综合法与分析法，再次体现了数学证明的严谨性与灵活性。下面一起回顾这节课。我们再次熟悉了数学归纳法证明的基本步骤，在递推过程中积累了常用方法与技巧。可能同学们觉得这节课内容困难，产生畏难情绪。实际上还有很多同学提出了想法。再来看两位同学的。