师：同学们，上节课我们完成了第三章的学习，课程结束时老师让大家画本章的知识树状图，大家能完整画出来吗？推理和证明包含推理与证明两部分。其中，推理分为合情推理与演绎推理，合情推理又包括归纳推理和类比推理。归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理，合情推理的结论不一定正确。演绎推理的主要形式是三段论，实际上它就是证明。证明部分我们学习了直接证明和间接证明，直接证明有综合法、分析法两种方法。综合法是由因导果，从条件出发；分析法是执果索因，从结论出发。间接证明的反证法是从否定结论出发。下面我们具体回顾知识点归纳推理。
根据一类事物中部分事物具有某种属性，我们可以推断该类事物中每一个事物都有这种属性，这种推理方法称为归纳推理，它是由部分到整体、由个别到一般的推理。我们来看第一个例题，给出函数(f(x))的解析式，要求我们求出三组函数值之和，再归纳一般结论。
先看第一组求和(f(0) + f(1))。(f(0)=\frac{1}{3^{0}+\sqrt{3}})，我们对其分母有理化，分子分母同乘以(\sqrt{3}-1)，分子变为(\sqrt{3}-1)，分母为((\sqrt{3})^{2}-1^{2}=2)。再看(f(1)=\frac{1}{3 + \sqrt{3}})，同样分母有理化，分子分母同乘以(3 - \sqrt{3})，分子变为(3 - \sqrt{3})，分母为(3^{2}-(\sqrt{3})^{2}=6)。这样(f(0) + f(1))，通分化简后结果为(\frac{\sqrt{3}}{3})。用同样的方法，可求出(f(-1) + f(2)=\frac{\sqrt{3}}{3})，(f(-2) + f(3)=\frac{\sqrt{3}}{3})。这三个函数值的和都是(\frac{\sqrt{3}}{3})，它们的自变量有什么相同点呢？(0 + 1 = 1)，(-1 + 2 = 1)，(-2 + 3 = 1)。
由此我们得到，当自变量的和等于(1)时，函数值的和是(\frac{\sqrt{3}}{3})，用符号表示即为：若(x_{1} + x_{2} = 1)，则(f(x_{1}) + f(x_{2})=\frac{\sqrt{3}}{3})。我们知道归纳推理的结论不一定正确，若正确需要证明，若不正确则需举反例说明。接下来看类比推理。
由于两类不同对象具有某些相似特征，我们根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，这种推理方式叫类比推理，它的特征是两类事物特征之间的推理，由特殊到特殊。再看例(2)。我们知道平面内三角形内切圆的半径可以用三角形的面积和三个边的边长表示，那么在空间中四面体的内切球半径是否也能用四面体的体积和四个面的面积表示呢？我们从形式上类比，平面内的表达式是分式，空间中的表达式也应是分式。平面内表达式分母是三个边的边长之和，边长对应空间里的面积，所以空间中表达式分母应该是四个面的面积之和。平面中的表达式分子出现了三角形的面积，平面中的面积对应空间中的体积，所以空间中的表达式分子会有四面体的体积。对于前面的系数，平面中的表达式分母进行了两次加法运算，分子有系数(2)；空间中的表达式分母有三次加法运算，分子的系数就应该是(3)。
经过这样的类比，猜测答案是(c)，当然这个猜测结果不一定正确，它只能帮助我们发现新知识和结论。那能不能证明刚才的推测呢？我们先回顾演绎推理，三段论是演绎推理最常见的形式，它包括大前提、小前提、结论三个方面。大前提指一般性的结论，小前提指研究对象的特殊情况，结论是由大前提和小前提作出的判断。
那么怎么用三段论来推导刚才的结论呢？类比时除了从形式上类比，还能从方法上类比。平面中三角形内切圆半径表达式是通过分割三角形的面积得到的，在空间中我们也可以用分割的方法推导体积。假设四面体内切球的球心是(O)，那么四面体可以分割成四个小的三棱锥：(O - ABC)，(O - PBC)、(O - PIC)、(O - PIB)。四面体的体积就是这四个三棱锥的体积之和。假设三角形(ABC)的面积是(S_{1})，三角形(PBC)的面积是(S_{2})，三角形(PIC)的面积是(S_{3})，三角形(PIB)的面积是(S_{4})。因为三棱锥的体积是(\frac{1}{3})底面积乘以高，(O - ABC)是三棱锥，所以它的体积就是(\frac{1}{3}S_{1}r)。这里三棱锥的体积公式是大前提，(O - ABC)是三棱锥是小前提，它的体积是(\frac{1}{3}S_{1}r)就是结论，这是一个完整的三段论。同样，可求出(O - PBC)的体积是(\frac{1}{3}S_{2}r)，(O - PIC)的体积是(\frac{1}{3}S_{3}r)，(O - PIB)的体积是(\frac{1}{3}S_{4}r)。
所以(V)就是这四个体积之和，求和时提出公共部分(\frac{1}{3}r)，剩余部分是(S_{1} + S_{2} + S_{3} + S_{4})，移项化简可得(r = \frac{3V}{S_{1} + S_{2} + S_{3} + S_{4}})，这样就证明了刚才推测的正确性。我们发现数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理，也就是一连串的三段论。三段论推理的结论正确与否取决于两个前提是否正确以及推理形式是否正确。
刚才的推导结果能进行证明吗？我们回顾一下直接证明的两种方法：综合法和分析法。综合法是从条件出发，一步一步推出要证的结论；分析法是从结论出发，寻找结论成立的充分条件，直到找到一个明显成立的条件。如果说综合法的思路是由因导果，那么分析法的思路就是执果索因，我们可以用框图直观表示。综合法是由条件(p)推出结论(Q_{1})，再由(Q_{1})推出结论(Q_{2})，直至推导出最终结论(q)；分析法是寻找结论(q)成立的充分条件(P_{1})，再找(P_{1})成立的充分条件(P_{2})，直至找到一个明显成立的充分条件。它们的证明格式不同，综合法里有“因为……所以……”或者“由……得到……”，而分析法是“要证……只需证……即证……”。
现在看例(1)，这个证明问题条件有两个，一个是解析式，一个是(x_{1} + x_{2} = 1)，结论是(f(x_{1}) + f(x_{2})=\frac{\sqrt{3}}{3})。从条件到结论没有直接推导方向，我们观察结论。把函数解析式代入，要证(f(x_{1}) + f(x_{2})=\frac{\sqrt{3}}{3})，只需证明(\frac{1}{3^{x_{1}} + \sqrt{3}} + \frac{1}{3^{x_{2}} + \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3})，等式左边通分整理，也就是证明通分后的式子成立。