师：同学们好。我们知道数学证明有直接证明和间接证明。上一节，我们学习了直接证明的两种方法：综合法和分析法。这一节，我们将学习间接证明的一种方法——反证法。
大家看，钢琴家手指在琴键上跳跃，演奏出优美琴声。那怎么说明琴声是手指与琴相辅相成发出的呢？早在宋代，诗人苏轼就给出了完美回答。苏轼说：“若言琴上有琴声，放在匣中何不鸣？若言声在指头上，何不于君指上听？”意思是，如果说琴声发自琴，那放盒子里为何不响？如果说琴声发自手，为何手上听不到声音？
针对这个回答，我们思考两个问题。思考一：为什么苏轼用两个假设就回答了这个问题？我们知道，琴声可能由手指单独发出，可能由琴单独发出，也可能是手指和琴相辅相成发出，只有这三种情况。苏轼的两个假设，分别否定了琴声由手指单独发出和由琴单独发出这两种情况，所以琴声只能是手指和琴相辅相成发出。思考二：试归纳这个问题的特点，以及苏轼回答问题的基本思路。通过观察发现，这个问题结论和条件联系不明显，由条件推导结论线索也不清晰，用直接证明方法不易说明。苏轼的基本思路是假设结论并非如此，即从结论反面出发，通过推理说明结论反面不成立，从而得出结论成立。
那苏轼这种解决问题的思路，能否用到数学证明中呢？来看例2：已知a是整数，2能整除a2，求证2能整除a。按照苏轼思路，先假设结论不成立，即假设2不能整除a。因为a是整数且不能被2整除，所以a是奇数，可令a = 2m + 1（m是整数）。此时a2 = (2m + 1)2，展开化简得2(2m2 + 2m) + 1。m是整数，所以2m2 + 2m也是整数，由此可知a2是奇数，即2不能整除a2，这与条件“2能整除a2”矛盾，说明假设不成立，所以2能整除a。
这就是我们这节课要学习的反证法定义：假设原命题不成立，经过正确推理证明得出矛盾，进而说明假设不正确，从而证明原命题正确，这种证明方法叫反证法。下面我们用反证法解决问题。
第一题，要证明a与b平行。按反证法定义，先假设命题不成立，即a与b不平行。在平面内，不平行就相交，所以假设a与b有一个交点m，a与c垂直，交点是p，b与c垂直，交点是q。由图可知，∠PMQ大于0度，三角形PMQ内角和为∠PMQ + ∠MPQ + ∠PQM。因为直线a和b垂直于直线c，所以∠MPQ和∠PQM都是直角，那么三角形内角和大于180度，这与三角形内角和为180度的定理矛盾，所以假设不正确，即a与b平行。
再看第二题，从反证法定义出发，先假设结论不成立，即根号2不是无理数，那么根号2就是有理数。可把它表示成根号2 = q / p（p、q为整数，p ≠ 0，p、q互质），即根号2p = q，两边平方得2p2 = q2 ①。由这个式子可知q2是偶数，所以q只能是偶数，令q = 2k（k为整数），代入①式得2p2 = 4k2，即p2 = 2k2，所以p也是偶数。此时p和q都是偶数，这与p、q互质矛盾，即假设错误，所以根号2是无理数。
现在请同学们对比例1和例2的证明过程，归纳反证法基本步骤。通过对比发现，两题证明过程都分三大步。第一步是假设结论不成立，即结论反面成立，叫反设；第二步是在反设基础上，通过正确推理论证得出矛盾，叫归谬；第三步是由矛盾判定假设不成立，得出结论成立，这就是反证法的基本步骤。总结一下，反设是假设结论不成立，即结论反面成立；归谬是从假设出发，经过正确推理证明得出矛盾；结论是因矛盾判定假设不成立，从而得出原命题结论正确。反证法解题关键是由假设出发，通过正确推理论证找出矛盾，矛盾可能与条件、假设、定义、定理及事实等矛盾。关于反证法基本步骤，同学们掌握了吗？下面用反证法证明这个问题，注意要用反证法。