师：上节课我们讲了用综合法进行证明，先来回顾下综合法的定义。我们从命题的条件出发，依据相关定理、公理，经过演绎推理，逐步接近所要证明的结论，最终推导出结论，这种证明方式就是综合法。若用(p)表示条件，(q)表示结论，可用如下框图直观呈现这个过程：由条件(p)推出结论(Q_1)，再由(Q_1)推出(Q_2)，接着由(Q_2)推出(Q_3)，如此一步步推出最终结论(q)。那用综合法如何完成证明呢？来看上节课留的练习题。拿到题目，先明确条件和结论。本题中，“(AB)是不相等的正数”是条件，“(a^3 + b^3 > a^2b + ab^2)”是要证明的结论。从这里可看出，条件和结论间的推导关系并不明晰，大家是怎么证明的呢？来看下面两位同学的证法。
第一位同学，把结论不等式的左边减去右边，做差过程中，将(a^2)与(a^2b)放一起，提出(a^2)还剩(a - b)；把(b^3)与(ab^2)放一起，提出(b^2)还剩(b - a)，再提出相同部分(a - b)，剩余(a^2 - b^2)。利用平方差公式，可转化为((a + b)(a - b))。那么这个差最终化简为((a - b)^2(a + b))。因为(a)、(b)都是正数，所以(a + b > 0)；又因为(a)、(b)不相等，所以((a - b)^2 > 0)。两个正数相乘结果仍为正，即差大于(0)，所以左式大于右式。这位同学从要证明的结论入手，证明不等式本质是比较大小，用做差法比较大小是常用思路，做得非常好。
再看第二位同学的做法，这位同学同样从结论观察，发现不等式左边(a^3 + b^3)用立方和公式可化成((a + b)(a^2 - ab + b^2))，不等式右边提出(ab)可得(ab(a + b))。不等式两边的(a + b)同时化简消掉后，不等式简化为(a^2 - ab + b^2 > ab)，把右边的(ab)移到左边，就是一个完全平方式(a^2 - 2ab + b^2)。因为(a)、(b)不相等，所以((a - b)^2 > 0)成立。这位同学思路虽好，但证明过程有问题，大家能看出来吗？按照前面讲的综合法，是由条件(p)推出结论(Q_1)，再推出(Q_2)，是从条件向结论推导。现在把(a^3 + b^3 > a^2b + ab^2)放到前面，就当成条件使用了，题目逻辑顺序错误，这是个错误证明。那怎样修改使其成为正确的证明方式呢？(a^3 + b^3 > a^2b + ab^2)是要证明的结论，左右式化简后，只需证明化简式的不等关系。发现不等式两边若有相同部分要消去，利用不等式性质需考虑其正负。因为题目中(a)、(b)都是正的，(a + b > 0)，所以可去掉(a + b)且不变号，只需证明(a^2 - ab + b^2 > ab)，它与(a^2 - 2ab + b^2 > 0)等价，也就是要证明((a - b)^2 > 0)。因为(a)和(b)不相等，这个不等式恒成立。要证结论，推出使它成立的条件，该条件成立，所以原来的不等式成立。完善后，这个过程就能作为证明过程。
完成这个练习，来看下面这个例子。函数(f(x) = 2x^2 - 12x + 16)是条件，结论是它在区间((3, +\infty))上是增加的。这个例题从条件到结论也无直接推导关系，能否像上一个练习一样从结论入手呢？从结论看，证明函数在区间上增加，要用到增函数定义。要证明函数在区间((3, +\infty))上是增加的，只需证明对于定义域内任意两个自变量(x_1)，(x_2)，当(x_1 > x_2)时，有(f(x_1) > f(x_2))，即证明(f(x_1) - f(x_2) > 0)。对(f(x_1))、(f(x_2))做差，经过化简，结果是((x_1 - x_2) \times 2(x_1 + x_2 - 6))。根据题目条件，(x_1 > x_2)，所以(x_1 - x_2 > 0)；又因为函数定义域是((3, +\infty))，所以(x_1 > 3)，(x_2 > 3)，同向不等式相加可得(x_1 + x_2 > 3 + 3 = 6)，即(x_1 + x_2 - 6 > 0)。两个因式都大于(0)，它们相乘的积大于(0)，所以能保证差大于(0)，这样就证明了这个二次函数在给定定义域((3, +\infty))上是增加的。
现在看刚才的引理和例一，比较它们的证明过程，有什么共同特征？仔细观察发现，证明过程都把题目结论放在证明中，要证明结论成立，过程中出现很多相同关键词“只需证明”，最后是结论成立的条件。把这个发现整理下，从求证的结论出发，逐步探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为命题的条件，或归结为定义、定理、公理等，这种思维方法就是分析法。能否用框图简洁表示它的思维过程呢？把(q)表示要证明的结论，那么就要找(q)成立的条件(P_1)，再找(P_1)成立的条件(P_2)，接着找(P_2)成立的条件(P_3)，最后找到一个明显成立的条件。这个过程从结果出发，一步步寻找结果成立的充分条件。
归纳出分析法定义后，来完成下面这个几何证明题。拿到题目，先找条件和结论。题目中有四个与垂直有关的条件：(SA)垂直平面(ABC)，(AB)垂直(BC)，(AE)垂直(SB)，(EF)垂直(SC)，结论是(AF)垂直(SC)。要证明垂直，这两条线(AF)和(SC)相交，证明相交垂直，常用思路是在平面里找特殊图形，利用勾股定理或中位线等特殊线段求证垂直，但本题没给任何长度及长度关系，也没特殊点，所以考虑证明垂直的第二种方法——异面垂直。常用证明方法是要证线垂直，过一条线找一个平面与另一条线垂直，由定义可知这两条线就垂直。对于(AF)和(SC)，过谁找面呢？从条件看(SC)垂直(EF)，(EF)和(AF)构成平面(AEF)，所以考虑找面(AEF)与线(SC)的垂直关系。要证(AF)垂直(SC)，只需证明(SC)垂直平面(AEF)，因为(EF)垂直(SC)，所以只需证明(AE)垂直(SC)。这里又出现一组异面垂直(AE)和(SC)，题目中(AE)垂直(SB)，(SB)和(SC)构成平面(SBC)，所以只需证明(AE)垂直平面(SBC)。因为(AE)和(AB)垂直，所以只需证明(AE)垂直(BC)。(AE)和(BC)这组垂直关系也是异面垂直，还是要过一条线找平面。再看条件，(AB)垂直(BC)，(AB)和(AE)构成平面(SAB)，所以只需证明(BC)垂直平面(SAB)。因为(AB)和(BC)垂直，所以只要证明(BC)垂直(SA)。题目中有条件(SA)垂直底面(ABC)，而(BC)在底面内，所以(SA)和(BC)的垂直关系成立。找到这个条件成立，要证明的(AF)和(SC)的垂直关系就成立了。这样用分析法证出了这个例题，大家能不能动手做一下这个题目呢？