师：同学们好。上一节课我们学习了合情推理的两种方式——归纳推理和类比推理。归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理。下面，我们用上节课所学内容来判断以下推理分别属于什么推理。
第一个，我们发现它是由个别到一般的归纳推理；第二个是由特殊到特殊的类比推理。那么第三个是合情推理吗？经过分析，我们发现第三个既不是由个别到一般的推理，也不是由特殊到特殊的推理，所以它不是合情推理。那它是什么推理呢？这就是我们这节课要学习的新推理方式。
思考一，请同学们观察下列推理，它们的推理形式有什么特点？
我们看第一个，所有金属都能导电，这是一般性原理。铜是金属中的一种特殊情况，由此得出铜也能够导电的结论。第二个，平行四边形对角线互相平分，这是一般性原理。菱形是特殊的平行四边形，所以得出菱形对角线也互相平分的结论。我们发现，这两个推理都是由一般到特殊的推理，对于这种推理，我们称之为演绎推理。
演绎推理的定义是，从一般性结论出发，推出某种特殊情况下的结论，简言之，演绎推理就是由一般到特殊的推理。
思考二，请同学们观察下面三个演绎推理的例子，它们由几部分组成，各部分有什么特点？
通过观察可知，这三个演绎推理都由三部分组成。第一部分是一般性原理；第二部分是满足一般性原理的研究对象的特殊情况；第三部分是基于一般性原理和特殊情况推出的结论。对于演绎推理的这三部分，我们称之为三段论。其中，第一部分称为大前提，提供一般性原理；第二部分称为小前提，是研究对象的特殊情况；第三部分称为结论，是根据大前提和小前提做出的判断。
现在我们回头看刚才的三个演绎推理，它们的结论都是正确的。上节课我们学的合情推理结论不一定正确，那么演绎推理的结论一定正确吗？要回答这个问题，我们来看下面两个例子。
第一个例子，请判断这个演绎推理的结论是否正确。根据对数函数的性质，我们知道它的结论是错误的。是什么原因导致结论错误呢？我们把这个演绎推理按照三段论进行划分，它的大前提是对数函数(y = \log_{a}x)是增函数，小前提是(y = \log_{\frac{1}{2}}x)是对数函数，结论是(y = \log_{\frac{1}{2}}x)是增函数。从形式上看满足三段论，但实际上，只有当(a > 1)时，(y = \log_{a}x)才是增函数，所以导致结论错误的主要原因是大前提错误。
再看第二个例子，这个演绎推理的结论正确吗？通过指数函数的性质，我们知道结论也是错误的。它的错误原因是什么呢？同样把它改成三段论形式，大前提是指数函数（底数大于(1)）是增函数，小前提是(y = 2^{-x})是指数函数，结论是(y = 2^{-x})是增函数。我们知道(y = a^{x})，当(a > 1)时是增函数，大前提正确，小前提单独看也正确，但仔细观察会发现，小前提(y = 2^{-x})不符合大前提中指数函数的形式，所以导致结论错误，即这个演绎推理错误的主要原因是小前提不符合大前提的条件。
综上，只有在演绎推理形式正确、大前提正确、小前提符合大前提条件的基础上，演绎推理的结论才是正确的。
关于演绎推理的三段论，大家掌握得怎么样了呢？下面我们通过两个例题来熟悉一下演绎推理。
第一，请将下列演绎推理写成三段论的形式。
第一个，很容易找到大前提：矩形的对角线相等。小前提：四边形(ABCD)是矩形。结论：四边形(ABCD)的对角线相等。
第二个，大前提：三角形内角和为(180^{\circ})。小前提应该是满足大前提研究对象的特殊情况，大前提说的是三角形，再结合结论可知，小前提是直角三角形是三角形。结论：直角三角形(ABC)内角和为(180^{\circ})。这里在演绎推理中省略了小前提部分，因为小前提比较显然，书写时可以省略。
下面这个练习，请同学们指出下列证明过程中框出部分的三段论。
通过分析发现，这里省略了大前提。从小前提出发，小前提是(B_{1}C_{1})垂直于平面(ABB_{1}A_{1})且(BE)包含于平面(ABB_{1}A_{1})，结论是(B_{1}C_{1})垂直于(BE)。省略的大前提是线面垂直的性质定理：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线。
在立体几何证明中，我们常常省略定理、公理及定义性的大前提。利用演绎推理解决问题时，关键是分清大前提和小前提。如果大前提或小前提比较显然，为了书写简洁可以省略。
我们知道合情推理是认识世界、提出问题的基础，演绎推理是理论证明和建立理论体系的基础，学会用演绎推理证明数学问题非常关键。下面我们来尝试一下。
例(2)，求证一个三角形中最大角不小于(60^{\circ})。这是文字叙述类数学问题，解决此类问题，首先要把文字叙述转化为数学语言。设三角形为(\triangle ABC)，不妨设(\angle A \leq \angle B \leq \angle C)。由不等式性质可知，(\angle A + \angle B + \angle C \leq \angle C + \angle C + \angle C = 3\angle C)。又因为三角形内角和是(180^{\circ})，所以(3\angle C \geq 180^{\circ})，即(\angle C \geq 60^{\circ})。