师：同学们，大家好，很高兴和大家一起学习北师大版选修2 - 2第三章第二节最大值最小值问题第二课时。请准备好课本、草稿纸、笔，跟着老师进入今天的课程学习。首先，我们一起来复习一下上节课所学的内容。
一、最大值与最小值的定义。一般来说，函数(y = f(x))的定义域为(D)，若存在(x_0 \in D)，使得对于任意的(x \in D)都有(f(x) \leq f(x_0))成立，那么称(f(x_0))为函数(y = f(x))的最大值。类似地，若存在(x_0 \in D)，使得对于任意的(x \in D)都有(f(x) \geq f(x_0))成立，称(f(x_0))为函数(y = f(x))的最小值。函数的最大值和最小值统称为最值。函数的最值是相对于函数定义域整体而言的，而上一节课我们学习的极值是一个局部概念。
二、求函数最值的一般方法有哪些？
利用函数性质：对于一些简单的函数，我们可以利用它的图像和性质直接给出在所求范围内的最值。
利用基本不等式求最值时，要注意它的使用条件：一正二定三相等，缺一不可。
利用导数求函数的最值。一般的，若函数(y = f(x))在闭区间([a, b])上图像是一条连续不断的曲线，则这个函数在闭区间([a, b])上必然有最大值和最小值。利用导数求函数(y = f(x))在闭区间([a, b])上的最大值和最小值的步骤是什么呢？对，第一步，求函数(f(x))在开区间((a, b))内的极值；第二步，求函数(f(x))在区间端点处的函数值(f(a))、(f(b))；第三步，将函数(f(x))的各极值与端点值(f(a))、(f(b))比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
请同学们拿出草稿纸，我们来一起练一练。求函数(f(x) = \ln x - x + 1)的最值。
同学们，这个题目中没有明确给出自变量(x)的所属区间，因此我们默认在函数(f(x))的定义域内求它的最值。你能求出这个函数(f(x))的定义域吗？对，它的定义域是开区间((0, +\infty))。所以解答过程可以写为：解，函数(f(x))的定义域为((0, +\infty))。接下来我们再根据刚才所复习的求函数最值的步骤求(f(x))的导函数。得到(f^\prime(x) = \frac{1}{x} - 1)，通分后得到(\frac{1 - x}{x})。化成的这个分式，它的分母(x)符号为正。接下来令导函数等于(0)，求解这个方程只需要让分子等于(0)，得出(x = 1)。
列出表格分析(f^\prime(x))的符号和函数的单调性。当(x)在开区间((0, 1))上，(f^\prime(x))的值为正；当(x)在开区间((1, +\infty))上，(f^\prime(x))的值为负。我们可以知道(f(x))在开区间((0, 1))上单调递增，在开区间((1, +\infty))上单调递减。这个函数在整个定义域上有一个极大值(f(1))。所以这个函数它的极大值就是它的最大值，通过计算(f(1) = 0)，所以函数(f(x))的最大值为(0)。
同学们，这道题解到这，我们计算完了吗？对，还没有，回头看。题目要求的是函数(f(x))的最值，我们解出来它的最大值为(0)。我们再看一看它有没有最小值呢。由于它的定义域是开区间((0, +\infty))，所以(x)取不到(0)和正无穷大，那么(f(x))就无最小值。
同学们，我们已经学会了利用导数求函数的最值，能不能利用这一知识去解决实际生活中的一些问题呢？我们来看例一，产量与利润。对于企业来说，生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题。对一家药品生产企业的研究表明，该企业的生产成本(y)和生产收入(z)都是产量(x)的函数。在这里，生产成本(y)单位是万元，生产收入(z)单位也是万元，产量(x)的单位是(t)（吨），给出的函数分别是(y = x^3 - 24x^2 + 63x + 10)，(z = 18x)。
第一个问题是写出该企业获得的生产利润(w)（单位：万元）与产量(x)之间的函数关系式。第二问，当产量为多少时，该企业可获得最大利润为多少？生活中我们经常会遇到一些求利润最大、成本最低、效率最高这样类型的问题，我们把这些问题都称作是生活中的优化问题，今天我们就来学习如何利用导数这一数学知识来解决一些生活中的优化问题。如何来解决这样的优化问题呢？首先我们要认真审题，这道题题目中给出了生产成本(y)与产量(x)的函数关系式，还给出了生产收入(z)和产量(x)的函数关系式。第一问要求的是生产利润(w)和产量(x)的函数关系式。那么我们要先弄清楚这几个变量之间有什么样的关系。由生活经验可知，总利润等于总收入减总成本。所以解答过程我们可以写为：解一，因为总利润等于总收入减总成本，即(w = z - y)，所以(w = w(x) = 18x - (x^3 - 24x^2 + 63x + 10))，即(w = -x^3 + 24x^2 - 45x - 10)。这里我们已经求出了生产利润(w)和产量(x)的函数关系式。(x)的实际意义是产量，那么由这个实际问题中(x)的取值可以知道，(x)应该要满足(x \geq 0)，这样第一个问题就得到了解决。
第二个问题问，当产量(x)为何值时可以取得最大利润为多少？这样就转化成求(w(x))的最大值。根据我们刚才复习求函数最大值的步骤，接下来我们求(w(x))的导数(w^\prime(x) = -3x^2 + 48x - 45)，再令(w^\prime(x) = 0)。解出这一方程，得到两个根，(x_1 = 1)，(x_2 = 15)。列出表格，分析导函数的符号，得到函数的单调性与极值点。在这里，当(x)在开区间((0, 1))上，(w^\prime(x))的值为负；当(x)在开区间((1, 15))上，(w^\prime(x))的值为正；当(x)在开区间((15, +\infty))上，(w^\prime(x))的值为负。所以函数(w(x))在开区间((0, 1))上单调递减，在开区间((1, 15))上单调递增，在开区间((15, +\infty))上单调递减，那么(x = 1)是它的极小值点，(x = 15)是它的极大值点。我们只需要比较(x = 1)和(x = 15)的函数值，可以得到(w(1) = -32)，(w(15) = 1340)，可知函数(w(x))在(x = 15)处取得最大值为(1340)。这样这个数学问题我们就得到了解决。那么本题问的是产量为多少时可获得最大利润为多少，所以我们要把这样的一个数学问题的答案还原到实际生活中问题去，得到这个优化问题的答案，即该企业的产量为(15)吨时，可获得最大利润为(1340)万元。
注意，在实际中有许多以函数为数学模型的问题，在研究它们的变化规律时，导数是一个重要的工具。下面请同学们拿出草稿纸和笔，我们一起来看下一个问题。例2，要设计一种圆柱形容积为(500)毫升的一体化易拉罐金属包装，如何设计才能使得总成本最低？对于这样一个圆柱体形状的金属包装，问我们总成本要最低，怎么样来设计才能使得总成本最低呢？这个总成本最低用什么量来进行表示呢？对，圆柱体表面积的最小值，这样我们就把这样的一个优化问题转化成了数学问题。