师：同学们，大家好。本节课我们来学习北京师范大学出版社高中数学选修2 - 2第三章第二节2.2最大值与最小值问题。首先，我们回顾一下前两节课所讲的内容。第一个是函数的极值与导数。什么叫做函数的极值？又如何去求可导函数的极值呢？
函数的极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点，大家要注意，这个极值点和之前学过的零点一样，都指的是该点的横坐标，也就是自变量$x_0$的值。
那如何求可导函数的极值呢？可以分为下面四个步骤：第一步，对函数进行求导；第二步，求极值点，也就是求导函数的零点；第三步，列出表格；第四步，写出该函数的极值。那么，极大值一定比极小值大吗？通过这个图可以明显看出，在这个图形中，极大值不一定比极小值大。大家说为什么呢？
生：因为函数的极值是研究函数局部的概念，而我们通常研究的问题中，更多还要探讨函数在定义域上哪一个值最大乃至最小的问题，这就是我们通常提到的函数的最值问题，也是本节课要讲的函数的最大值与最小值问题。
师：非常好。那么什么是最大值和最小值呢？函数$y = f(x)$在区间$[a,b]$上的最大值点$x_0$，指的是函数在这个区间上所有点的函数值都不超过$f(x_0)$，此时我们称$f(x_0)$为该函数在该区间上的最大值。函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的最小值点$x_0$，指的是函数在这个区间上所有点的函数值都不小于$f(x_0)$，此时我们称$f(x_0)$为该函数在该区间上的最小值。我们把最大值和最小值统称为最值。既然对函数最值的概念有所了解，那么如何去求函数的最值呢？首先来看这么一个例子，求函数$f(x) = x^2 - 4x + 6$在区间$[1,5]$上的最大值与最小值。大家思考一下。
生：这个函数是我们熟悉的二次函数，其对称轴为$x = 2$。在区间$[1,2]$上，该函数单调递减；在区间$[2,5]$上，函数单调递增。我们可以分别求出这两段上的最大值和最小值，进而找出它在区间$[1,5]$上的最大值。
师：很好，这位同学利用了函数的单调性。因为它是我们熟悉的二次函数，也可以通过画函数图像来找出最大值和最小值。如果题目其他条件不变，把解析式变化为$y = x^3 + 3x^2 - 9x$，能否还利用刚才所说的两种方法求解呢？
生：可以，但它不是我们熟悉的二次函数，用起来不是很容易。我们前几段学习了利用导数研究函数的单调性，对于这个三次函数，可以利用导数研究其单调性，进而求出函数的最大值和最小值。
师：这位同学的想法非常好。接下来我们就谈一下如何利用导数去求函数的最值，导数与函数最值到底有什么关系呢？首先来看这样一个图像，观察一个定义在区间$[a,b]$上的连续函数$y = f(x)$，你能找出$y = f(x)$在该区间$[a,b]$上的最大值和最小值吗？先填个空。观察这个图，可以发现$f(x_1)$、$f(x_3)$是该函数的极小值，$f(x_2)$是其极大值。那么该函数的最大值和最小值是什么呢？
生：通过图像找到最高点与最低点，发现最大值为$f(b)$，最小值是$f(x_3)$。
师：回头再看这个图像，该函数是定义在区间上的连续函数。我有个小问题，是不是定义在区间上的连续函数都有最大值和最小值呢？答案是肯定的，我们以后会学习一个定理，叫最值定理。定义在区间$[a,b]$上的连续函数，这里所说的连续函数指的是函数图像是一条连续不断的曲线，这样的函数必有最大值也有最小值。那么其最大值和最小值怎么求？在哪里可以取到呢？还是通过这个图像来看。
在区间$[a,x_1]$上，函数单调递减，最大值是$f(a)$，最小值是$f(x_1)$；在区间$[x_1,x_2]$上，函数单调递增，最小值是$f(x_1)$，最大值是$f(x_2)$；在区间$[x_2,x_3]$上，最大值是$f(x_2)$，最小值是$f(x_3)$；在区间$[x_3,b]$上，最小值是$f(x_3)$，最大值是$f(b)$。
我用两种不同记号表示了各个区间上的最大值和最小值，最大值用圆圈表示，最小值用三角形标记。大家思考一下，最大值和最小值有什么特征，都在哪里能取到？
生：各个区间的最大值分别为$f(a)$、$f(x_2)$、$f(b)$，其中$f(a)$和$f(b)$是端点处的函数值，$f(x_2)$是函数的一个极大值。最小值$f(x_1)$、$f(x_3)$分别是该函数的极小值。
师：是不是可以说该函数的最大值和最小值均来自于其端点所对的函数值以及极值呢？这只是我们的一个猜想，其实这个猜想是正确的。定义在区间上的连续函数，其最大值和最小值就从极值以及端点对应的函数值当中找出来，这也是求最值的办法。
大家思考一下，既然知道最值从这几个函数值中寻找，能不能总结下如何求函数在某区间上的最值呢？可以分为哪几个步骤？
生：首先求该函数在区间上的极值，把所有极大值、极小值全部找出来；第二，将$y = f(x)$的各个极值与端点值$f(a)$、$f(b)$进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。