师：同学们好。今天我们一起学习平面直角坐标轴中的伸缩变换。请大家拿出纸笔和直尺，我们来做一个直角坐标系，然后在坐标系中找到点((1,0))的位置。相信同学们都已经找到了。由于这个点的坐标是((1,0))，也就是说这个点到原点是一个单位。同学们所做图形中这一个单位的长度一样吗？在回答这个问题之前，我们先看屏幕上这两个图形。第一个图形，我们来看一下(A)点到(O)点的长度，如图中红色的线段。第二个图形，我们也给它标记一下。同学们可以看出，(A)点坐标虽然都是((1,0))，但是(A)点到(O)点的单位长度是不一样的，第二个图形的(A)点离(O)点更远一点，这是为什么呢？对，好多同学都已经明白了，是因为我们选取的一个单位长度有变化。有的同学用(1)厘米做一个单位长度，有的同学用(2)厘米，甚至有(5)厘米、(1)米等等。也就是说，当我们建立直角坐标系时，随着(x)轴或者(y)轴单位长度选择的不同，出现图形的效果也会不同。下面我们结合生活中的例子来看一下。
这是某银行信用贷款，1995年3月份是(15.924)亿元，到1995年6月份是(18.281)亿元，可以用下面的图像来表示3月份到6月份的增长幅度。
通过比较两个图像，大家可以发现什么呀？是的，是不是感觉图2的增长幅度大于图1的增长幅度？同学们，为什么会造成这种错误的感觉呢？我们首先看两个图形的横坐标，第一个图形的三个单位长度和第二个图形的三个单位长度不一样。再观察纵坐标，同样是(14 - 16)这两个单位，它们一样吗？是的，我们可以发现这两个图形的横坐标和纵坐标的单位长度都不同，所以造成了图像不同的感觉。从而我们得出这样一个结论：在平面直角坐标系中，如果改变(x)轴或者(y)轴的单位长度，就会对图形产生影响。下面我们一起看一下。
例一，在下列平面直角坐标系中，分别作出以原点为圆心、(6)为半径的圆。第一问要求(x)轴与(y)轴具有相同的单位长度。第二问，(x)轴上的单位长度为(y)轴上单位长度的两倍。第三问，(x)轴上的单位长度为(y)轴上单位长度的(\frac{1}{2})。同学们，给你们一点时间，分别做出这三问对应的图像。
相信好多同学已经做出了这三问的图像，下面老师带领大家用几何画板看一下它们的图像。第一问，由于圆心在原点，半径是(6)，所以这个圆应该过((6,0))点或者((0,6))点。由于(x)轴和(y)轴单位长度相同，也就是说(OB)和(OD)的长度一样，从而我们可以得出这样一个圆的形状。第二问，我们知道(x)轴上的长度为(y)轴长度的两倍，也就是说(OB)的长度应该是(OD)长度的两倍。那么我们经过图形变换看一下，再回放一遍，请同学们仔细观察。是不是感觉到(OB)的长度此时是(OD)长度的两倍，那么由原来的圆变成现在的椭圆？第三问要求(x)轴上的长度为(y)轴长度的(\frac{1}{2})。好，我们先把它变成一个圆，此时要求发生了变化，我们要让(x)轴上的单位长度是(y)轴单位长度的(\frac{1}{2})，再看图形的变化。
好，也就是说原来是个圆，随着(x)轴单位长度的变化，我们发现它变成椭圆了。我们再随意地拉伸(x)轴的长度，再感知一下，这是(x)轴的单位长度在逐渐增加，也可以逐渐减小，同学们感受到它的变化了吗？
通过这三问，我们感受到由圆到椭圆的变化，那么关键问题在于什么才能导致原来的图形产生变化呢？是因为我们改变了(x)轴上的单位长度，由圆可以变成椭圆。再问同学们，由椭圆可以回到圆吗？我们先看一个例子，已知一个椭圆的方程为(\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1)。如果(x)轴上的单位长度为(y)轴上单位长度的(\frac{1}{2})，那么该椭圆的形状是什么？有(A)、(B)、(C)、(D)四个答案。我们先观察一下椭圆的方程，它是(\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1)，我们知道它的焦点应该在(x)轴上，那么它的长轴长是不是(8)？短轴长是不是(4)？好，如果(x)轴和(y)轴的长度一样的话，那么我们可以代入(A)选项。但是(x)轴上的单位长度发生了变化，要求为(y)轴单位长度的(\frac{1}{2})，也就是说(x)轴上两个端点的距离此时应该减小了，由原来的(8)变成现在的(4)，也就是说和(y)轴上两个端点的距离此时是一样的，都是(4)，从而我们也可以得到(B)选项。
细心的同学已经发现其实可以从椭圆变成圆，那么同学们，椭圆一定能变成圆吗？对，不一定。我们接着看下面练习，在下列平面直角坐标系中分别作出(\vert x \vert + \vert y \vert = 1)的图形。第一问，要求(x)轴与(y)轴具有相同的单位长度。第二问，(x)轴上的单位长度为(y)轴单位长度的两倍。第三问，(x)轴上的单位长度为(y)轴上单位长度的(\frac{1}{2})倍。好，同学们，我们先观察这个方程(\vert x \vert + \vert y \vert = 1)，它带绝对值了，而且有两个绝对值，那么我们想做出它的图像应该怎么办呢？对，我们可以用分类讨论的思想先把绝对值去掉。好，老师带领大家一起先讨论一下如何去掉绝对值。
第一种情况，我们可以让(x \geq 0)，(y \geq 0)，那么去掉绝对值还是它本身，从而得到(x + y = 1)。我们知道如果单看(x + y = 1)的话，它是一条直线的方程，斜率是(-1)，但是此时要求(x \geq 0)，(y \geq 0)，所以我们得到的是这样一条线段。
我们再看，如果(x \leq 0)，(y \geq 0)，此时的方程为(-x + y = 1)，我们也很容易得到它的图像。此刻我们已经把(y \geq 0)的情景讨论完了，是不是应该讨论(y \lt 0)的情景了？好，我们看第三种，如果(x \leq 0)，(y \leq 0)，此时(x + y = -1)，我们做出对应的线段。
第四种情况，若(x \geq 0)，(y \leq 0)，我们也相应地得到它的图形，这样我们就把(\vert x \vert + \vert y \vert = 1)的图像做出来了。对，有些同学感觉到这个讨论稍微有点繁琐，那么你们思考一下有没有其他办法可以解决这个图像问题呢？好，我们可以通过它的方程形式，或者说方程的特点来着手。
我们看这个方程，我们也可以感知到如果一个点((m,n))满足此方程的话，(( - m,n))也会满足此方程，或者说((m, - n))也会满足此方程，从而我们就知道要得到的图像应该是关于(y)轴对称，也会关于(x)轴对称，那么我们可以用对称性去解决这个问题。我们可以通过第一问，先得到这一段的图像，然后由于它关于(y)轴对称，我们得到这一段的图像，整个图像又关于(x)轴对称，所以我们就可以得到下半部分的图像，这样画图就比较快一点了。好，那么我们看第二问。