师：同学们好，欢迎来到数学课堂。这节课我们一起复习导数的概念及导数的几何意义，我将通过两个问题和大家深入探讨。请带着你们的导数知识，跟我一起进入课堂。
第一个问题，若 s 表示某物体的运动路程，t 为运动时间，s 和 t 的函数关系式为(s = t^{2})，(s^\prime|{t = 1})的实际意义是什么？如何用定义计算(s^\prime|{t = 1})？
我们先看(s^\prime|_{t = 1})的实际意义。在物理学中，路程关于时间的函数导数是瞬时速度，所以它表示该物体在(t = 1)秒末的瞬时速度。
接着看如何用定义计算(s^\prime|{t = 1})。回顾用定义求函数在某点处导数的步骤，分为三步：
第一步做差，求(\Delta s=(1 + \Delta t)^{2}-1^{2})，化简后得到(\Delta s = \Delta t^{2}+2\Delta t)。
第二步作比，求平均变化率(\frac{\Delta s}{\Delta t})，化简后为(\Delta t + 2)。
第三步取极限，(s^\prime|{t = 1}=\lim\limits_{\Delta t \to 0}(\Delta t + 2))，结果是(2)。这三个步骤大家要掌握好。
在这个问题基础上，我们继续思考三个新问题：
思考一，把(s = t^{2})视为常用函数(f(x)=x^{2})，已知(y = f(x))在(x = 1)处的导数(f^\prime(1)=2)，(f^\prime(1))的几何意义是什么？
思考二，求函数(f(x)=x^{2})在点((1,1))处的切线方程。
思考三，求函数(f(x)=x^{2})过点((\frac{5}{2},6))的切线方程。大家思考一下，我们马上逐一解决。
先看第一个问题，(f^\prime(1))的几何意义。画出图像可知，它表示函数对应的图像在该点处切线的斜率，即(f^\prime(1))为曲线(f(x)=x^{2})在(x = 1)处切线的斜率。
再看思考二，求函数在点((1,1))处切线方程。回顾利用导数的几何意义求函数切线方程的步骤：
第一步，求函数(y = f(x))在点(x_0)处的导数。本题中(f^\prime(1)=2)，即斜率(k = f^\prime(1)=2)。
第二步，根据点斜式方程(y - y_0 = f^\prime(x_0)(x - x_0))，这里(x_0 = 1)，(y_0 = 1)，斜率(k = 2)，则直线方程为(y - 1 = 2(x - 1))，整理得(y = 2x - 1)。
来看思考三，求函数(f(x)=x^{2})过点((\frac{5}{2},6))的切线方程。有同学可能会像前面一样，直接求(f^\prime(\frac{5}{2}))作为斜率，然后根据点斜式方程得到结果，这样对吗？不对。为什么呢？因为((\frac{5}{2},6))这个点不在曲线(f(x)=x^{2})上，肯定不是切点。这种情况下，我们通常先设出切点。
设该切线过抛物线上的切点坐标为((x_0,x_0^{2}))，求斜率(k = f^\prime(x_0))，用定义处理（过程略），计算结果是(2x_0)，所以切线斜率为(2x_0)。由点斜式方程可得(y - x_0^{2}=2x_0(x - x_0))。此时(x_0)是设的，需要求出来。因为切线过点((\frac{5}{2},6))，将其代入切线方程，整理后得到关于(x_0)的一元二次方程，不难解得(x_0 = 2)或者(x_0 = 3)。这样就得到两个切点((2,4))和((3,9))，从而得到切线方程为(y = 4x - 4)或者(y = 6x - 9)。这里正确解法得到两条切线方程，而错误解法只有一条。通过图像可以直观看到，类似问题要注意点是否在曲线上，如果不在，要设出切点，借助函数关系式(f(x_0))。
通过问题一，我们复习了导数相关知识，提到导数的物理意义、几何意义，学会求函数在某点处切线方程以及过某点处切线方程，注意“在”和“过”的区别，“在”说明该点一定是切点，“过”则该点不一定是切点。