师：同学们好，今天老师带领大家一起复习回顾北师大版选修2 - 2第三章导数的应用。首先，我们来看本章的知识框图。本章主要从以下四个方面学习导数的应用：一、利用导数研究函数的单调性；二、利用导数研究函数的极值；三、利用导数研究函数的最值；四、利用导数研究实际生活中的问题。下面我们就这四个方面展开复习。
先看第一个，函数的单调性。
导函数的符号与函数单调性的关系：如果在某个区间内，函数(y = f(x))的导数(f^\prime(x) > 0)，那么在这个区间函数(y = f(x))是增加的；如果在某个区间内，函数(y = f(x))的导数(f^\prime(x) < 0)，那么在这个区间函数(y = f(x))是减少的。
研究函数单调性的步骤：第一步，求定义域，因为单调区间是定义域的子集；第二步，求导数；第三步，根据导函数的符号判断函数的单调区间。
下面看例一，确定函数(f(x) = x - \frac{2}{x} - 3\ln x)的单调区间。同学们，拿起纸和笔动手试试。
师：首先第一步，确定函数的定义域。作为分式函数(\frac{2}{x})，(x \neq 0)；作为对数函数，真数(x > 0)，所以函数的定义域为((0, +\infty))。第二步，对(f(x))求导，(f^\prime(x) = 1 + \frac{2}{x^2} - \frac{3}{x})，通分化简后等于(\frac{(x - 1)(x - 2)}{x^2})。第三步，利用导函数的符号得到函数的单调区间。我们看到导函数的分母(x^2)恒大于(0)，所以导函数的符号取决于分子((x - 1)(x - 2))这个二次函数的符号。来看二次函数的图像，当(x < 1)或者(x > 2)时，导函数大于(0)；当(1 < x < 2)时，导函数小于(0)。这样我们就得到函数在((0, 1))和((2, +\infty))上单调递增，在((1, 2))上递减。这里提醒大家两点：一是单调区间一定要是定义域的子集；二是单调区间如果有两个，像这个函数在((0, 1))和((2, +\infty))上都递增，这两个单调区间之间用逗号隔开，不能用并集符号。
复习完函数的单调性，接下来看函数的极值。
极值的概念：设函数(f(x))在点(x_0)附近有定义，且对(x_0)附近的所有点(x)都有(f(x_0) > f(x))，则称(f(x_0))为函数的一个极大值，称(x_0)为极大值点。同样，若对(x_0)附近所有的(x)都有(f(x_0) < f(x))，则称(f(x_0))为函数的一个极小值，称(x_0)为极小值点。注意，极大值点和极小值点跟函数零点一样，是一个确定的实数。
求可导函数(y = f(x))极值的步骤：第一步，求导数(f^\prime(x))；第二步，求方程(f^\prime(x) = 0)的根，也就是导函数的零点；第三步，检验(f^\prime(x))在方程(f^\prime(x) = 0)的根的左右的符号。如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数(y = f(x))在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数(y = f(x))在这个根处取得极小值；如果在根的左右符号相同，则这个根不是函数的极值点。
下面看变式一，确定函数(f(x) = x - \frac{2}{x} - 3\ln x)的极值。
师：大家发现这个函数和例一的函数一样。根据例一，函数的定义域为((0, +\infty))，导函数化简后为(\frac{(x - 1)(x - 2)}{x^2})。令(f^\prime(x) = 0)，则(x = 1)或(x = 2)。为了清晰判断导函数在(x = 1)和(x = 2)左右的符号，我们列个表格，分为三行，第一行为自变量(x)，第二行为导函数(f^\prime(x))，第三行为函数(f(x))。导函数的零点(1)和(2)将定义域((0, +\infty))分成三段：((0, 1))、((1, 2))以及((2, +\infty))。根据例一研究函数的单调性可知，导函数在((0, 1))、((1, 2))、((2, +\infty))上符号分别为正、负、正，也就是说函数(f(x))先增再减再增。这样我们得到函数在(x = 1)处取得极大值，将(1)代入函数得(f(1) = -1)；在(x = 2)处取得极小值，将(2)代入函数得(f(2) = 1 - 3\ln2)。我们发现求函数的单调区间和极值，都需要先求函数的定义域，再得到函数的导数，然后判断导函数的符号。
有了函数的极值，来看如何求函数的最大值与最小值。设(y = f(x))是定义在区间([a, b])上的函数，(y = f(x))在开区间((a, b))内有导数。求函数(y = f(x))在([a, b])上的最大值与最小值可分两步进行：第一步，求(y = f(x))在((a, b))内的极值；第二步，将(y = f(x))在各极值点的极值与端点处的值比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。这里要注意，极值反映的是函数局部的特征，而最值反映的是函数在闭区间内的整体特征。
看变式二，确定函数(f(x) = x - \frac{2}{x} - 3\sqrt{x})在([1, 4])上的最值。
师：还记得变式一的研究结果吗？我们同样列个表格。注意函数定义域为([1, 4])，在([1, 4])内有唯一的极值点(x = 2)，将区间([1, 4])分为([1, 2])、([2, 4])。因为求函数最值，所以要将端点处的值单独列成一列。那么在端点(1)处的值为(-1)，在(2)处（极小值）(f(2) = 1 - 3\ln2)，在端点(4)处的值(f(4) = 4 - \frac{2}{4} - 3\log_4{4} = \frac{7}{2} - 3\log_4{4} = \frac{7}{2} - 3 = \frac{1}{2})。有了函数在([1, 4])上的极值以及端点处的值，下面比较极值与端点处值的大小。同学们能快速判断出函数在哪一点取到最小值吗？因为函数在([1, 2])上递减，([2, 4])上递增，所以在(x = 2)处，这个极小值的位置也恰好是函数的最小值。而(x = 1)和(x = 4)处的值哪一个更大呢？需要比较(f(1))和(f(4))的值。我们可以做差比较大小，也可以直接将(\ln2 \approx 0.7)代入，(f(4) = 3.5 - 6 \times 0.7 = -0.7)，(f(4))的值大于(f(1))，所以这个函数在(4)处取到最大值。这样我们就得到了函数在([1, 4])上的最值。我们发现求函数在([1, 4])上的最值，首先要解决函数在([1, 4])内的极值，然后再比较大小。通过例一及其变式，我们对(f(x) = x - \frac{2}{x} - 3\ln x)性质的研究，就可以画出这个函数的草图。这个函数在((0, 1))上递增，((1, 2))上递减，((2, +\infty))上递增，在(4)处的值实际上还是小于(0)的。
在必修一，我们学习函数的单调性，知道可以由图像得到函数的单调性。现在有了导数这个工具，给出(f(x))的解析式，我们就可以通过导数得到函数的图像，从而研究函数更多的性质，比如函数的零点。来看这个函数在定义域((0, +\infty))内，零点有几个呢？好像没有零点，又好像有零点。当(x)充分大时，这个图像会不会超越(x)轴呢？实际上我们代入(x = 8)处的值，发现(f(8) > 0)，这样就可以看到这个函数在定义域内有且只有一个零点。函数的零点问题也是这几年高考的热点。我们还能得到什么呢？刚刚已经证明函数在([1, 4])上恒小于(0)，实际上这个函数在(0 < x < 4)时都是恒小于(0)的，也就是说当(x \in (0, 4))时，(x - \frac{2}{x} - 3\ln x < 0)恒成立，这样就可以得到(x - \frac{2}{x} < 3\ln x)恒成立。这样导数就为我们判断两式的大小、证明不等式提供了一个新的研究方向。
通过以上三个方面的复习回顾，我们发现应用导数可以研究函数的单调性，进而研究函数的极值，再加上端点处的值，就可以得到函数的最值，这样就能画出函数图像的草图，从而研究函数更多的性质，比如函数的零点、比较函数的大小、证明不等式等等。接下来看导数的最后一个方面，利用导数解应用题。
看例2，如图，铁路线上(AB)段长(100)千米，工厂(C)到铁路的距离(CI = 20)千米。现在要在(AB)上某一处(D)向(C)修一条公路，已知铁路每吨千米与公路每吨千米的运费之比为(3:5)。为了使原料从供应站(B)运到工厂(C)的运费最省，(D)应修在何处？首先对于这个实际问题，我们要思考如何将其转化成数学问题，请同学们思考一下。
师：好，一起来看。设(DI = x)千米，那么(DB = 100 - x)千米，(CD = \sqrt{20^2 + x^2} = \sqrt{400 + x^2})千米。又因为铁路每吨千米与公路每吨千米的运费之比为(3:5)，所以若设铁路上每吨千米的运费为(3t)元，则公路上每吨千米的运费为(5t)元。这样每吨原料从供应站(B)运到工厂(C)的总运费(y = 3t \times BD + 5t \times CD = 3t(100 - x) + 5t\sqrt{400 + x^2})。注意定义域(x \geq 0)且(x \leq 100)。这样我们就将实际问题转化成了数学问题。接下来任务是求这个函数在([0, 100])上的最小值。求这个函数在([0, 100])上的最小值，第一步要对这个函数求导。这里注意，(t)是一个常数，求导可得：(y^\prime = 3t \times (100 - x)^\prime + 5t \times (\sqrt{400 + x^2})^\prime)。(\sqrt{400 + x^2})是一个复合函数，求导等于(\frac{1}{2} \times (400 + x^2)^{-\frac{1}{2}} \times (400 + x^2)^\prime = \frac{1}{2} \times (400 + x^2)^{-\frac{1}{2}} \times 2x)。提取常数(t)，则(y^\prime = t\left(-3 + \frac{5x}{\sqrt{400 + x^2}}\right))，通分变形可得(y^\prime = \frac{t(5x - 3\sqrt{400 + x^2})}{\sqrt{400 + x^2}})。令导数等于(0)，即(5x - 3\sqrt{400 + x^2} = 0)，也就意味着(5x = 3\sqrt{400 + x^2})，两边平方得(25x^2 = 9(400 + x^2))，移项可得(16x^2 = 9 \times 400)，两边同除以(16)，则(x^2 = 225)，所以(x = 15)。注意，因为定义域是([0, 100])，所以(x)只能等于(15)。并且当(x < 15)时，(x^2 < 225)，(16x^2 < 9 \times 400)，(25x^2 < 9(400 + x^2))，也就意味着(5x < 3\sqrt{400 + x^2})，导数小于(0)；同样，当(x \in (15, 100])时，(y^\prime > 0)。通过刚刚的计算，我们发现函数在([0, 15))内单调递减，在((15, 100])内单调递增，也就意味着函数(y = f(x))在([0, 100])内有唯一的极小值点(x = 15)，这个点也恰好为最小值点。最后我们还要将数学问题还原成实际问题，所以当(x = 15)，即(D)点选在距(I)点(15)千米时，总运费最省。这样我们就解决了这个实际问题。对于实际问题的解决，大家发现第一步是要数学建模，将其转化成数学问题，再利用导数解决实际问题。
本节课到此就基本结束了，下面咱们回顾一下，通过本节课的学习，你收获到了什么呢？掌握利用导数判断函数单调性、求解函数极值以及最值的方法。对于实际问题，能够通过数学建模分析问题并解决问题。
最后我们来看本节课的作业。
课本复习参考题3A组第一题的3、5，第二题的第二小题，第三题。
老师留了两道能力提高题：
证明(e^x \geq x + 1)恒成立。想一想我们如何比较函数的大小？
已知函数(f(x) = \sin x - \ln(1 + x))，(f^\prime(x))为(f(x))的导数。证明：①(f^\prime(x))在区间((-1, \frac{\pi}{2}))内存在唯一的极大值点；②(f(x))有且仅有两个零点。这也是2019年全国一卷的高考题，请感兴趣的同学课下思考一下。
好，本节课到此结束，同学们再见。