师：同学们，大家好。今天我们来继续学习高中数学北师大版选修1-2第一章第一节的回归分析相关内容。前面两节课我们主要学习了线性回归分析，今天我们来学习可线性化的回归分析。
首先，我们复习一下前面学习的内容。第一个问题：我们是如何讨论两个变量间的相关关系的？
生：我们知道相关关系不同于函数关系，它是一种不确定的关系。对于给定的两个变量，要判断它们是否具有线性相关关系，可以先利用所给数据画出散点图，根据散点图直观判断。如果看起来是线性相关的，就可以用最小二乘法求出线性回归方程，然后进行预测和判断。求回归方程时，先求参数b，再根据回归直线过样本中心点求出a。
师：很好。第二个问题：除了用散点图直观观察，还有更严谨的数学方法来判定两个变量的线性相关程度吗？
生：有的。对于任何一组样本点，都可以用最小二乘法求出一个线性回归方程，但这个方程不一定能很好地反映样本点的分布。所以我们引入了相关系数r来定量刻画线性相关程度。r的表达式是……它的取值范围在-1到1之间。r的绝对值越大，线性相关程度越高；绝对值越接近0，相关程度越低。r>0时，变量正相关；r<0时，变量负相关；r=0时，线性不相关。需要注意的是，r的绝对值小只能说明线性相关程度低，但不代表不相关，它们可能是非线性相关的。
师：总结得很到位。第三个问题：线性回归分析的基本步骤是什么？
生：首先，判断两个变量是否线性相关——可以先画散点图大致判断，再计算相关系数确认。如果线性相关，就用最小二乘法求出线性回归方程，然后利用方程进行预测和决策。
师：好，复习就到这里。现在我们来看一个实际问题：下表给出了1981年到2001年我国出口贸易量的数据。根据这个表，你能预测2008年我国的出口贸易量吗？
（展示数据表）
要预测2008年的贸易量，我们需要找到出口贸易量与年份之间的关系。它们会不会是线性相关的呢？如果是，我们就可以直接用线性回归分析来解决。但第一步，还是得先判断一下。我们以年份为x，出口贸易量为y。为简化，把1981年记作x=1，1982年记作x=2，依此类推，得到一张新表。根据这个表，我们画出散点图。
（展示散点图）
大家观察这个散点图，能得到什么信息？这些点是不是很好地分布在某条直线附近？
生：看起来不太像。这些点明显不是沿一条直线分布的。
师：对。如果我们强行用线性模型去拟合，预测误差可能会很大。也就是说，线性模型在这里效果不理想。那怎么办呢？再看看散点图，它们虽然不在直线附近，但似乎分布在某条曲线附近。什么样的曲线？
生：有点像指数增长曲线，或者二次函数曲线。
师：是的。这说明出口贸易量y和年份x之间更可能是一种非线性关系。那我们能不能选一个非线性函数模型来拟合呢？当然可以。
那么，选择什么样的函数模型呢？指数型函数？二次函数？还有其他可能吗？课本推荐使用的是y=a·e^(bx)这个指数模型。我们怎么求出这个模型呢？它目前是非线性的，而我们之前学的是线性回归。很自然地，我们想：能不能把它转化成线性模型？
怎么转化呢？这个模型的自变量x在指数位置上。我们想把x“放”下来，怎么办？
生：可以两边取对数。
师：以谁为底？
生：以e为底，因为函数底数就是e。
师：好。两边取自然对数：ln y = ln(a·e^(bx)) = ln a + bx。这样，x已经变成一次的了，但形式还不够清晰。我们令u = ln y，c = ln a，那么原方程就变成了什么？
生：u = c + bx。
师：对！这就变成了一个线性模型。如果我们能求出这个线性模型，再反代回去，就能得到原来的非线性模型了。这样，我们就把一个非线性回归问题转化成了线性回归问题。
接下来的问题是：u = c + bx这个线性方程怎么求？这就回到我们熟悉的线性回归分析了。现在的变量是x和u（u由y取对数得到）。我们需要根据原始数据，计算出对应的u值，得到一张新表。然后，判断x和u是否线性相关——可以再画散点图或计算相关系数r。如果线性相关，就可以用最小二乘法求回归方程了。
我们计算后发现，变换后的数据点确实非常接近一条直线，相关系数r也很接近1。这说明线性相关程度很强。接下来用最小二乘法计算，得到b≈0.1383，再根据回归直线过样本中心点，求得c≈5.0559。于是线性回归方程为：u = 5.0559 + 0.1383x。