师：同学们好，欢迎来到数学课堂。本节课我们一起来学习复数的乘法与除法。首先明确本节课的学习目标：一是掌握复数乘法与除法定义，能够熟练进行复数乘法与除法运算，提升数学运算素养；二是通过类比实数的乘法与除法，推理复数的乘法与除法，培养逻辑推理素养。
下面我们回顾上节课所学知识。两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加；两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减。同时，我们还学习了复数加法的运算律——交换律和结合律。我们也知道两个复数的和与差仍然是一个复数，复数减法是加法的逆运算，复数的加减法可类比多项式的加减法。
同学们学会了复数的加法与减法，那如何进行复数的乘法运算呢？下面我们就带着这个问题进入本节课的学习。
问题一：通过类比计算多项式((a + bx)×(c + dx)=ac + adx + bcx + bd×x2)，思考复数是否也可以相乘，结果如何呢？这个式子是我们初中所学的多项式展开，如果令(x = i)代入上式，可以得到复数((a + bi)×(c + di)=ac + adi + bci + bd×i2)。又因为(i2 = -1)，所以复数((a + bi))与((c + di))的乘积可化为复数的标准形式，实部为(ac - bd)，虚部为(ad + bc)，这就是复数的代数形式。同学们注意，不需要记住这两个复数乘积的结果，但要记住类比多项式展开化简为复数标准形式的方法，这就是我们讲的复数乘法运算。通过以上运算可以发现，两个复数的积仍是一个复数，复数的乘法与多项式的乘法类似，但在运算过程中需要用(i2 = -1)进行化简，然后把实部与虚部分别合并。
问题二：设(Z? = 1 - 2i)，(Z? = 3 + 4i)，(Z? = -2 + i)，请同学们计算以下复数运算，并写出其满足的运算规律。
利用刚刚学习的复数乘法计算，不难发现，这三组运算中每一组的结果都是一致的。第一组为(11 - 8i)，第二组为(-20 + 15i)，第三组为(11 + 3i)。大家思考，类比实数乘法运算律，能不能写出复数的乘法运算律呢？
由以上三组运算，不难发现，复数的乘法运算也满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律。那么我们就可以把乘法运算律由实数范围推广到复数范围。
复数乘法运算律：任意(Z?)、(Z?)、(Z?)属于复数集，有交换律(Z?×Z? = Z?×Z?)；结合律((Z?×Z?)×Z? = Z?×(Z?×Z?))；乘法对加法的分配律(Z?×(Z? + Z?)=Z?×Z? + Z?×Z?)。类比实数范围内正整数指数幂的运算可得，在复数范围内同样成立。设(Z?)、(Z?)、(Z)属于复数集，且(m)、(n)属于正整数，(Z^m×Z^n = Z^{m + n})，((Z^m)^n = Z^{mn})，((Z?×Z?)^n = Z?^n×Z?^n)。同学们一定要注意，以上三个公式中，(m)、(n)属于正整数，其他范围不属于我们学习范围。
问题三：计算以下复数运算，并写出你所得到的结论。
通过观察不难发现，每一组的两个复数实部相等，虚部互为相反数，那么每一组的乘法运算都满足平方差公式，我们可以口算出结果，第一组为(13)，第二组为(13)，第三组为(9)，第四组为(5)。同学们，由以上(4)组运算，能得到什么结论呢？从以上(4)个运算，可以得到如下结论：如果两个复数实部相等，虚部互为相反数，那么它们的乘积为非负实数，如复数((a + bi)×(a - bi)=a2 + b2)。
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫做互为共轭复数。通常记复数(z)的共轭复数为(\overline{z})。当复数(z = a + bi)时，共轭复数为(a - bi)。于是我们得到如下两个性质：性质一，(\vert z\vert = \vert\overline{z}\vert)；性质二，(z×\overline{z}=a2 + b2 = \vert z\vert2)。
问题四：类比((2 - \sqrt{2})÷(2 + \sqrt{2}) = 3 - 2\sqrt{2})，写出复数的除法。
不难发现这是两个无理数除法运算，主要采用分母有理化进行化简，也就是把分母的无理数转化为有理数的除法运算。那么类比这个方法，可以把两个复数相除，利用共轭复数的性质化简为复数的标准形式。化简如下：复数((a + bi)÷(c + di))改写为分数形式，然后令分子、分母同乘以分母的共轭复数，就可以把分母的复数转化为实数，分子利用复数乘法展开化简，这样就得到了两个复数的商化简为复数的标准形式。同学们一定要注意，不需要记住这两个复数商的形式，但要记住这个类比方法，利用共轭复数性质来化简。由以上化简过程，可以发现复数除法与实数范围内的分母有理化方法类似，可以用分母的共轭复数同乘以分子与分母后再进行计算，这个方法我们称之为分母实数化。
复数除法：复数的除法是乘法的逆运算，满足复数((c + di)×(x + yi) = (a + bi))，其中复数((c + di))不为(0)。等式中的复数((x + yi))叫做复数((a + bi))除以复数((c + di))的商，记作((x + yi)=\frac{a + bi}{c + di})，其中(c + di)不为(0)。同学们，复数的除法是乘法的逆运算，除法运算可以等价转化为乘法运算。
下面通过几个实例来巩固本节课的新知识，请同学们认真看例一的两个小题，拿出草稿纸计算结果。