师：同学们好，今天我们共同来学习高中数学选修4 - 4第一章第二点第四节——曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化。
前面我们学习了点的极坐标与直角坐标的互化。请同学们回顾一下点的直角坐标和极坐标的互化关系式。
当已知点的直角坐标化为极坐标时，可使用这个关系式：(\rho^{2}=x^{2}+y^{2})，(\tan\theta=\frac{y}{x})（注意(x\neq0)）。由点的直角坐标化为极坐标时，结果可能不唯一。而已知点的极坐标化为直角坐标时，可使用这个关系式：(x = \rho\cos\theta)，(y = \rho\sin\theta)。借助这两个关系式，我们就能完成点的极坐标与直角坐标的互化。
前面我们还学习了直线和圆的极坐标方程，请同学们回顾并完成表格。
过极点倾斜角为(\alpha)的直线，对应的极坐标方程可写为(\theta = \alpha)，(\rho\in R)。过点((a,0))与极轴垂直的直线的极坐标方程可写为(\rho\cos\theta = a)。过点((a,\frac{\pi}{2}))与极轴平行的直线（(a\neq0)时），这个极坐标方程可写为(\rho\sin\theta = a)。
我们在必修二中也学习过直线的直角坐标方程，对比一下：过原点倾斜角为(\alpha)的直线，可写成(y = \tan\alpha\cdot x)或(x = 0)；过((a,0))与(x)轴垂直的直线，可写为(x = a)；过((0,a))与(y)轴垂直的直线，可写为(y = a)。
上一节课，我们还学习了常见的曲线——圆的极坐标方程，请同学们完成表格。
圆心在极点半径为(r)的圆的极坐标方程，可写为(\rho = r)。圆心为((R,0))半径为(r)的圆，可写为(\rho = 2R\cos\theta)。圆心为((0,R))半径为(r)的圆的极坐标方程，可写为(\rho = 2R\sin\theta)。
在必修2的学习中，我们也知道相应圆的直角坐标方程。圆心在原点半径为(r)的圆的直角坐标方程为(x^{2}+y^{2}=r^{2})。圆心为((R,0))半径为(r)的圆的直角坐标方程为(x^{2}+y^{2}-2Rx = 0)。圆心为((0,R))半径为(r)的圆，它的直角坐标方程为(x^{2}+y^{2}-2Ry = 0)。
经过前面的复习，我们知道同一条曲线在不同的坐标系中会有不同的方程。为了研究问题方便，有时需要把一种坐标系中的方程化为另一种坐标系中的方程，这就是我们今天要研究的内容。
曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，本质就是极坐标系下(\rho)和(\theta)的关系式与直角坐标系下(x)和(y)的关系式之间的互化。我们应抓住点的极坐标与直角坐标的互化，借助点的极坐标与直角坐标的互化关系式，曲线方程两种形式的互化就能顺利完成。请大家试一试，例一，将下列曲线的极坐标方程化成直角坐标方程。
根据刚才的分析，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，就是把(\rho)和(\theta)的关系式化为直角坐标系中(x)和(y)之间的关系式。
先看第一题，请大家观察这个式子，思考如何把(\rho)和(\theta)的关系式转变成(x)和(y)的关系式呢？我们发现这里(\rho\cos\theta)和(\rho\sin\theta)可以直接换成(x)和(y)，从而把(\rho)和(\theta)的关系式换成直角坐标方程(x)与(y)的关系式。我们来一起做一做，将点的极坐标化为直角坐标关系式直接代入。
得到曲线的直角坐标方程为(x - y - 2 = 0)，显然它是一条直线。
在本题中，我们发现(\rho\cos\theta)和(\rho\sin\theta)可以直接代换，从而完成极坐标方程到直角坐标方程的转化。再来看第二题，第二题没有现成的(\rho\cos\theta)和(\rho\sin\theta)了，该怎么办呢？细心的同学可能会考虑两边同时乘以(\rho)，那问题是两边同时乘以(\rho)与原来的方程是等价的吗？只需检验新方程与原来方程是否表示同样的曲线。我们知道(\rho = 0)表示的是极点，而(\rho - \cos\theta = 0)经过极点，所以这个变形是等价的。来看它的解答过程。
由于曲线(\rho - \cos\theta = 0)经过极点(\rho = 0)，所以方程(\rho - \cos\theta = 0)可变形为(\rho(\rho - \cos\theta)=0)，得到(\rho^{2} - \rho\cos\theta = 0)，再将点的极坐标((\rho,\theta))化为直角坐标((x,y))的关系式代入，就可得到曲线的直角坐标方程是(x^{2}+y^{2}-x = 0)。
请同学们思考，这是哪一种曲线？将曲线的极坐标方程化成直角坐标方程的关键是什么？根据必修2我们学过的知识，可知这个曲线表示的是圆心在((\frac{1}{2},0))，半径为(\frac{1}{2})的圆。将曲线的极坐标方程化成直角坐标方程，只需凑出(\rho\cos\theta)和(\rho\sin\theta)。如果已知条件有，直接替换即可；如果没有，可以通过适当变形出现(\rho\cos\theta)和(\rho\sin\theta)。带着这样的经验，我们共同分析第三题。
在这个题目中，没有现成的(\rho\cos\theta)和(\rho\sin\theta)。我们可以借助二倍角公式将方程变形为(\rho^{2}(\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta)=16)，这样就出现了(\rho\cos\theta)和(\rho\sin\theta)，再将点的极坐标((\rho,\theta))化为直角坐标((x,y))的关系式代入，就可得到曲线的直角坐标方程是(x^{2}-y^{2}=16)。由平面直角坐标系的知识可知，这个曲线是等轴双曲线。请大家思考将曲线的极坐标方程化成直角坐标方程的一般方法和步骤。