师：同学们好，欢迎来到数学课堂，今天我们共同学习复数的四则运算习题课。在学习本节课之前，先来了解一下学习目标。一是理解复数加减法运算的几何意义，并能解决相关问题；二是掌握虚数单位i的幂值的周期性，应用其周期性进行化简与计算；三是掌握共轭复数的运算性质、复数的四则运算法则和运算性质，能熟练地进行复数的运算，提升数学运算素养和逻辑推理素养。
在前面的学习中，我们学习了复数的加法、减法法则。假设(a + bi)与(c + di)是任意复数，那么((a + bi) + (c + di))或者((a + bi) - (c + di))，可以表示为两复数的实部与实部相加或减作为和或差的实部，虚部与虚部相加或减作为和或差的虚部。复数的加法还满足交换律和结合律。
复数的乘法，((a + bi)×(c + di))与多项式的乘法类似，在运算过程中，可以把(i)看作一个字母，按照多项式的乘法法则进行展开，注意要用(i2 = -1)进行化简，然后再把实部、虚部分别合并，最终得到的结果为((ac - bd) + (ad + bc)i)。乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律，即对任意的复数(Z?)、(Z?)、(Z?)都成立。
在复数范围内，实数范围内的正整数指数幂的运算律仍然成立，即对任意的复数(Z)、(Z?)、(Z?)和正整数(m)、(n)都有相应结论成立。我们还学习了共轭复数的定义和性质。当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫做共轭复数，(Z)的共轭复数用(\overline{Z})来表示，也就是当(Z = a + bi)时，(\overline{Z} = a - bi)。于是有(Z·\overline{Z} = a2 + b2 = |Z|2 = |\overline{Z}|2)。同时要注意两个小结论：互为共轭复数的两复数的对应点关于实轴对称；互为共轭复数的两复数的和与积都是实数。
复数的除法，设(Z? = a + bi)，(Z? = c + di)，其中(c + di ≠ 0)。因为复数的除法是乘法的逆运算，在复数的除法运算中，通常先将两复数的商写成分式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数并进行化简，实际上就是将分母实数化，这与根式除法中分母有理化很相似。所以(\frac{Z?}{Z?})，先转化成分式形式，然后分子分母同乘以分母的共轭复数(c - di)化成最终结果。复数的加减乘除运算结果仍是一个复数，而且这些运算可以推广到多个复数的加减乘除。
在进行复数的四则运算时，既要会做会解，更要做到快速解答。这里需要掌握一些常用的小结论，帮助大家有效地简化计算，提高计算的速度和正确率。比如虚数(i)的乘方具有周期性，最小正周期为(4)，即(i^{4n} = 1)，(i^{4n + 1} = i)，(i^{4n + 2} = -1)，(i^{4n + 3} = -i)。根据它的性质，(i)的正整数指数幂连续(4)项的和等于(0)；((1 ± i)2)利用完全平方公式展开化简，结果是(±2i)；(\frac{1 + i}{1 - i})分母实数化，结果为(i)；(\frac{1 - i}{1 + i} = -i)。希望这些小结论同学们能够熟练掌握。
下面来看复数的四则运算法则及有关性质的应用。
例一：在平行四边形(ABCD)中，对角线(AC)与(BD)相交于点(O)，若向量(\overrightarrow{OA})、向量(\overrightarrow{OB})对应的复数分别是(3 + i)、(-1 + 3i)，则向量(\overrightarrow{CD})对应的复数是下面哪一个选项？为了更直观地解决这个问题，我们通过图形来仔细观察。
如图所示，在平行四边形(ABCD)中，(AC)与(BD)相交于点(O)。根据题目条件，向量(\overrightarrow{OA})对应的复数为(3 + i)，向量(\overrightarrow{OB})对应的复数为(-1 + 3i)，要求向量(\overrightarrow{CD})对应的复数。大家知道在平行四边形(ABCD)中，向量(\overrightarrow{CD})与向量(\overrightarrow{BA})是相等向量，那么这个题目就转化成求向量(\overrightarrow{BA})对应的复数。在三角形(OAB)中，已知向量(\overrightarrow{OA})和向量(\overrightarrow{OB})对应的复数，就可以求出向量(\overrightarrow{BA})对应的复数。
具体求解步骤如下：根据题意，向量(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB})，用复数表示为((3 + i) - (-1 + 3i))，化简最终结果为(4 - 2i)。所以这个题目应该选择(D)选项。这个题目主要考察了复数减法的几何意义，复数的减法运算可以按照向量的减法运算法则进行。
例二：复数(z = \frac{(1 + i)2}{2 + i} + 3(1 - i))。若(z2 + \frac{i}{z} < 0)，求纯虚数(i)。根据前面学习的有关复数的概念，如果(i)是纯虚数，可以设(i = mi)，(m \in R)且(m ≠ 0)。再看题目已知条件，(z)是一个比较复杂的表达式，要求(i)的值，首先要对复数(z)进行简化。
利用前面学习的复数的四则运算法则及有关小结论，(z)可写成(\frac{2i + 3(1 - i)}{2 + i})，因为((1 + i)2 = 2i)，对分子化简得到(3 - i)，则分式变为(\frac{3 - i}{2 + i})。对这个分式分母实数化，即分子分母同乘以分母的共轭复数(2 - i)，化成最简结果为(1 - i)。
假设(i = mi)，(z)化简结果为(1 - i)，所以(z2 + \frac{i}{z})就可以表示为((1 - i)2 + \frac{mi}{1 - i})，进一步化简，实部为(-\frac{m}{2})，虚部为(\frac{m - 2}{2})。因为这个数小于(0)，根据前面学习的概念，只有实数才可以比较大小，所以虚部(\frac{m - 2}{2} = 0)，即(-\frac{m}{2} < 0)且(\frac{m - 2}{2} = 0)，从而求出(m)的值为(4)，也就是(i = 4i)。
这个题目主要考察了复数的四则运算法则以及复数的有关概念。对一些简单的算式要知道其结果，这样可以使计算过程简化。
例三：已知复数(z)，(\overline{z})为(z)的共轭复数，若(z·\overline{z} - 3i\overline{z} = 1 + 3i)，求复数(z)。已知关于复数(z)与(\overline{z})有关的问题，解题的常规思路通常是设复数(z = a + bi)，那么(\overline{z} = a - bi)。
把(z)和(\overline{z})代入等式(z·\overline{z} - 3i\overline{z} = 1 + 3i)，得到((a + bi)(a - bi) - 3i(a - bi) = 1 + 3i)，等号左侧进一步化简整理得到(a2 + b2 - 3b - 3ai = 1 + 3i)。
根据复数相等的充要条件，实部与实部相等，虚部与虚部相等，得到关于(a)和(b)的二元一次方程组，通过解方程组，求出(a)和(b)的值分别为(-1)、(0)或者(-1)、(3)，从而复数(z)为(-1)或者(z = -1 + 3i)。
这个问题简单总结一下，已知关于复数(z)和(\overline{z})的方程求(z)的问题，常规思路通常是设(z = a + bi)，(\overline{z} = a - bi)，根据题目已知条件转化为方程组去解决。在解决共轭复数有关问题时，也常用到一些结论来简化解题过程，希望同学们能够掌握。
例四：已知(1 + i)是关于(x)的方程(x2 + Bx + c = 0)的一个根。第一小题求(b)、(c)的值；第二问说明(1 - i)也是该方程的一个根。
已知方程的一个根是复数根，所以可以将已知的根代入方程，根据复数相等的充要条件去求解。因为(1 + i)是方程的一个根，把(1 + i)代入方程(x2 + Bx + c = 0)，得到((1 + i)2 + b(1 + i) + c = 0)，进一步整理化简，得到((b + c) + (2 + b)i = 0)。根据等号左右两侧相等的充要条件，得到(b + c = 0)且(2 + b = 0)，从而求出(b)、(c)的值分别为(-2)，那么方程就确定为(x2 - 2x + 2 = 0)。
第二小问，判断(1 - i)是不是这个方程的一个根，把(1 - i)代入方程左边进行化简，得到的结果为(0)，右边也是(0)，左边与右边相等，因此(1 - i)也是原方程的一个根。
在与复数方程有关的问题中，一般是利用复数相等的充要条件把复数问题转化为实数问题求解。要注意在复数方程中，根与系数的关系仍然成立，但判别式(\Delta)不再适用。
下面来看课堂练习。
第一小题，多个复数相加减，同两个复数相加减一样，只需将各复数的实部、虚部分别相加减。在运算过程中要注意把握每一个复数的实部和虚部。把各个复数的实部分别相加减，得到(3 + (-4) + (-3) = 3 - 4 - 3)；各个复数的虚部分别相加减，得到(-5 - 1 - 4)，所以整个式子进一步化简，结果为(-4 - 10i)。
第二小题，含字母系数的复数加减，仍然把各个复数的实部与实部相加减作为整个结果的实部，即(a - 2a)；虚部与虚部相加减作为整个式子的虚部，即(b - (-3b))，最终化简结果为(-a + (4b - 3)i)。从这个题目可以看出，在运算过程中，如果把(i)看作一个字母，则复数的加减运算就类似于初中学的合并同类项。
第二小题，计算下列各式的值。
第一个小题目，(1 + i + i2 + \cdots + i^{2017})。如果把这个式子的各项看成一个数列的各项，它就是一个等比数列求和问题。数列的公比(q = i)，项数(n = 2018)，因为相当于从(i)的(0)次幂一直加到(i)的(2017)次幂。用等比数列求和公式(\frac{a?(1 - q?)}{1 - q})，得到(\frac{1 - i^{2018}}{1 - i})。根据(i)的(n)次方的周期性，(i)的(2018)次方等于(i)的平方，因为(2018)除以(4)余(2)，所以(i^{2018} = i2)。进一步化简最终等于(1 + i)。
第二个小题目，((\frac{1}{1 - i})^{2014} + (1 - i)^{2014})。要对这个式子进行简化，首先对括号里面的部分进行化简。因为(\frac{1}{1 - i})化成最简结果为(\frac{1 + i}{2})，分母实数化后合并得到(\frac{1 + i}{2})。又因为((1 ± i)2 = ±2i)，所以原式可以写成((\frac{1 + i}{2})^{2014} + (1 - i)^{2014} = (\frac{(1 + i)2}{4})^{1007} + ((1 - i)2)^{1007})，利用小结论得到((\frac{2i}{4})^{1007} + (-2i)^{1007})，最终结果等于(0)。
第三个小题目，((-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)3)，可以把它写成((-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)2×(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i))。前面部分利用完全平方公式展开化简，得到(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i)，后面乘以(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)，又可以利用平方差公式进行简化，最终结果为(1)。从这个题目可以看出，在复数的乘法运算中可以应用实数运算中的乘法公式，比如平方差公式、完全平方公式等。这个题目主要考察了复数的四则运算法则、(i)的(n)次方的周期性以及相关性质。复数的运算顺序与实数的运算顺序相同，都是先进行乘方开方，再进行乘除，最后进行加减。
第三小题，已知(a)、(b)是实数，(i)是虚数单位，若(a - i)与(2 + bi)互为共轭复数，求((a + bi)2)的值。根据共轭复数的定义，如果(a - i)与(2 + bi)互为共轭复数，则它们的实部相等，即(a = 2)，虚部互为相反数，那么(b = 1)，从而((a + bi)2 = (2 + i)2)，进一步化简，最终结果为(3 + 4i)，也就是(D)选项。这个题目主要考察了共轭复数的有关概念。
下面对本节课的内容做一下简单总结。本节课主要在复习复数的四则运算法则及运算性质的基础上，通过例题及课堂练习，进一步强化了运算法则和性质的应用。一是复数的加法、减法和乘法与多项式的加法、减法和乘法类似，但要注意在乘法中必须把(i2)换成(-1)，再把实部、虚部分别合并；二是复数的除法通常是先将两复数的商写成分式，然后分子、分母同乘以分母的共轭复数对分母进行实数化；三是复数的四则运算顺序与实数的运算顺序一致，先算乘方，再算乘除，最后算加减。同时同学们要注意，一些小结论在解题中可以使运算简化，希望大家能够熟练掌握。这是今天的课后作业，希望大家课后能够认真完成。
好，这节课就上到这。