师：各位同学大家好，欢迎走进今天的数学课堂。今天，高老师将和大家一起学习直线和圆的极坐标方程。通过上一节课的学习，我们已经知道平面直角坐标系和极坐标系是两种不同的坐标系。同一个点在这两种不同坐标系中，需要用不同数对来表示。在平面直角坐标系中，平面曲线可以用含有变量(x)、(y)的方程(F(x,y)=0)来表示。那么在极坐标系下，我们可以用含有什么变量的方程来表示呢？经过类比，同学们会得到这样的结果：平面曲线在极坐标系中也可以用含有变量(\rho)、(\theta)的方程(\varphi(\rho,\theta)=0)来表示。
我们还知道，在平面直角坐标系中，曲线和方程具有如下关系：曲线上点的坐标都满足方程，同时，坐标满足方程的点都在曲线上。那么同学们能不能再次类比，得到极坐标系下曲线和方程之间的关系呢？
生：曲线上点的极坐标都满足方程，同时极坐标满足方程的点都在曲线上。
师：这种猜测是否正确呢？对于这个问题，我们需要分析一下。在平面直角坐标系内，平面内的点和它的直角坐标是一一对应的。但是在极坐标系中，平面内的点和它的极坐标之间的对应关系不是一一对应，而是一多对应。也就是说，如果给定平面内的一对极坐标((\rho,\theta))，我们就可以在平面内确定唯一的点。但是反过来，如果给定平面内的一点，它可以由无数对极坐标表示，而这无数对极坐标不一定都满足曲线的方程，但至少有一对一定是满足的，那就是((\rho,\theta))。因此，我们需要把极坐标系下曲线和方程的关系里的第一条改成：曲线上点的极坐标中至少有一组满足方程，就是((\rho,\theta))。通过刚刚的辨析，相信大家对极坐标系下曲线和方程之间的关系有了进一步认识，也更容易理解极坐标系下曲线方程的定义。
在极坐标系中，曲线可以用含(\rho)、(\theta)这两个变量的方程(\varphi(\rho,\theta)=0)来表示。如果曲线(C)上的点与一个二元方程建立了如下关系：一、曲线(C)上每个点的极坐标中至少有一组((\rho,\theta))满足方程；二、极坐标满足方程的点都在曲线上。那么我们就把方程(\varphi(\rho,\theta)=0)叫做曲线(C)的极坐标方程，同时把曲线(C)叫做极坐标方程(\varphi(\rho,\theta)=0)的曲线。从而我们得出了在极坐标系下曲线和方程之间的关系。
那么同学们在学习完极坐标方程的定义之后，有同学会想，该如何去求曲线的极坐标方程呢？我们先来回顾求曲线的直角坐标方程的基本步骤。首先，我们需要建立适当的直角坐标系，然后设曲线上任意一点的坐标为((x,y))，并且列出(x)、(y)的限制条件，接着利用题中给出的几何条件列出关于(x)、(y)的方程，最后还需要化简，并检验方程是否为曲线的方程。而检验的过程中就需要利用直角坐标系下曲线和方程之间的关系。
那么接下来我们借助求曲线的直角坐标方程的步骤，去建立关于直线和圆的极坐标方程。我们看例一，分别求从极点出发，倾斜角是(\frac{\pi}{4})的射线和直线的极坐标方程。借鉴求曲线的直角坐标方程的经验，我们首先要建立坐标系。接下来，我们需要在所求射线上设任意一点(M)，不过注意此时的坐标不能再设为((x,y))，我们需要设为((\rho,\theta))。然后请同学们观察图像，思考这样一个问题：所求射线上的点有什么共同的几何特征吗？
生：当点(M)在射线上运动的时候，它的极角始终不变，一直都是(\frac{\pi}{4})，而它的极径一直在随之变化，可以取任意的非负实数。
师：因此，我们就说点(M)的坐标满足方程(\theta=\frac{\pi}{4})，此时(\rho\geq0)。那么这是不是所求射线的极坐标方程呢？就像在曲线的平面直角坐标方程的验证一样，我们也要利用极坐标系下曲线和方程的关系去验证。我们来看，事实上在解题的过程中，我们已经验证了曲线上每个点的极坐标中至少有一组满足方程。接下来我们还需要验证极坐标满足方程的点是否都在曲线上。当然经过验证之后我们容易发现都是满足的。也就是说所求的方程就是曲线的极坐标方程。有同学发现我们所求的方程中不含有(\rho)，这种情形我们并不陌生，在直角坐标方程中我们也经常遇到。比如说方程(y = 1)。有的同学得出了不同的答案，比如说(\theta=\frac{5\pi}{4})，(\rho\leq0)，这个结果是不是正确的呢？
生：同样还是要利用我们的定义去验证，射线上每个点的极坐标中至少有一组满足方程，比如说(( - 1,\frac{5\pi}{4}))。而极坐标满足方程的点显然也都在射线上。
师：因此，我们也可以用方程(\theta=\frac{5\pi}{4})，(\rho\leq0)来表示所求的射线。通过这里我们也可以看出，和曲线的平面直角坐标方程不同，一条曲线的极坐标方程，它的形式可以是不唯一的。
同样的方法，我们还可以求出直线的极坐标方程为(\theta=\frac{\pi}{4})，此时的(\rho)属于(R)。
通过这个例题我们也发现，对于这种射线和直线来说，用极坐标方程来表示，显然更直观。
接着请同学们继续来看，如何去求经过(A(3,0))垂直于极轴的直线的极坐标方程。思考一下能不能借鉴上一题的经验。
和刚刚一样，我们需要先建立极坐标系，接着需要在所求直线上取任意一点，设坐标为((\rho,\theta))。接着我们需要去明确(M)点的坐标((\rho,\theta))各自对应的几何表示是什么。因此我们需要连接(OM)，那么(\rho)就是(OM)的长度，而(\theta)就是(\angle MOA)。此时我们观察图像，当点(M)在直线上运动的时候，这里面的(\rho)、(\theta)是不是一直在变化呢？那么有没有哪个量一直不变呢？那就是(OA)的长度始终为(3)。那么如何利用这个定值去建立关于(\rho)、(\theta)的等量关系呢？