师：同学们好，欢迎走进李老师的物理课堂。请准备好书本、学习任务单，和老师一起学习。今天我们要学习第十二章第三节串并联电路的电阻关系。老师做实验时需要一个20欧姆的电阻，但手边只有两个10欧姆和一个15欧姆的电阻，能不能把它们组合起来，让组合后的电阻相当于20欧姆呢？学了今天的课程，大家就能解决这个问题。在学习新课之前，我们先回顾一下欧姆定律，以及串并联电路中的电流、电压规律。请同学们按下暂停键，书写欧姆定律的内容、表达式，以及串并联电路中的电流、电压规律。
欧姆定律的内容是：通过导体的电流跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比。数学表达式是(I = \frac{U}{R})，变形公式有(R = \frac{U}{I})，(U = IR)。同学们，写对了吗？那么串联电路中的电流、电压规律是什么呢？在串联电路中，电流处处相等，如图所示，通过(R_1)的电流(I_1)、通过(R_2)的电流(I_2)，以及电路中的电流(I)，三者相等。在串联电路中，总电压等于各用电器两端电压之和，即(R_1)两端电压(U_1)加上(R_2)两端电压(U_2)，等于电路的总电压(U)。
并联电路的电流和电压又有什么规律呢？在并联电路中，干路电流等于各支路电流之和。如图所示，通过(R_1)的电流(I_1)加上通过(R_2)的电流(I_2)，等于干路电流(I)。而在并联电路中，各支路两端电压相等，且等于电路的总电压，即(R_1)两端电压(U_1)与(R_2)两端电压(U_2)相等，且等于电路的总电压(U)。同学们，都写对了吗？
下面我们来看一个实验视频。将电阻(R_1)、(R_2)接到电路两端，闭合开关，我们看到电流表的示数为(0.2)安培。接着用一个电阻(R)替换原来的两个电阻，仍接到这个电路中，闭合开关，发现电流表的示数还是(0.2)安培。在这个实验中，在同一个电路里，用电阻(R)替换(R_1)、(R_2)后，电路中的电流不变，仍为(0.2)安培。对于电路中的电流而言，电阻(R)产生的效果与原来两个电阻(R_1)和(R_2)产生的效果相同，即在电路两端电压不变的情况下，电路中的电流相等。在这种情况下，我们把电阻(R)叫做(R_1)和(R_2)的等效电阻，也称为(R_1)和(R_2)的总电阻。
那么(R_1)、(R_2)和(R)之间存在什么关系呢？请同学们按下暂停键，拿出学习任务单，利用欧姆定律和串联电路中的电流、电压规律，尝试完成学习任务一：推导串联电路中的电阻关系。
同学们看，在图12 - 6甲所示的电路中，(R_1)、(R_2)串联。根据串联电路的电流和电压规律，我们可以得到：通过(R_1)的电流(I_1)和通过(R_2)的电流(I_2)相等，且等于电路中的电流(I)；(R_1)两端电压(U_1)加上(R_2)两端电压(U_2)，等于电路的总电压，也就是电源电压(U)。再结合欧姆定律，(R_1)两端电压(U_1 = I_1R_1 = IR_1)，(R_2)两端电压(U_2 = I_2R_2 = IR_2)。同学们要注意推导过程的规范性，通过下标1、2来区分通过(R_1)、(R_2)的电流，以及(R_1)、(R_2)两端的电压。
再看乙图，根据欧姆定律，电路的总电压，即电源电压(U = IR)。由于甲乙两图中电源两端电压相同，结合上述式子可得(IR = IR_1 + IR_2)，消去电流(I)以后，可以得到(R = R_1 + R_2)。
通过推导，我们得到串联电路中的电阻关系：在串联电路中，等效电阻（也就是总电阻）等于各串联电阻之和。同学们再想一想，在串联电路中，等效电阻与任意一个串联电阻的大小关系是怎样的呢？根据(R = R_1 + R_2)，可以得到(R > R_1)，(R > R_2)，也就是说在串联电路中，等效电阻比任意一个串联电阻都大。
下面我们来看一个例题。把一个(3)欧姆的电阻(R_1)和一个(6)欧姆的电阻(R_2)串联在电路中，如图12 - 7所示，电源两端电压为(6)伏，求这个电路中的电流是多大？
根据欧姆定律，要求电路中的电流，应该用电路两端电压(U)除以电路的总电阻，所以我们首先要求(R_1)、(R_2)串联后的总电阻。代入数据可得，总电阻(R = R_1 + R_2 = 3 + 6 = 9)欧姆。再根据(I = \frac{U}{R})，代入数据后，可以得到电路中的电流(I = \frac{6}{9} \approx 0.67)安培。
同学们，如图12 - 8所示，如果将电阻(R_1)、(R_2)并联起来，它们的等效电阻还等于各电阻之和吗？请同学们按下暂停键，拿出学习任务单，利用欧姆定律和并联电路中的电流、电压规律，尝试完成学习任务二：推导并联电路中的电阻关系。
在图12 - 8甲所示的电路中，(R_1)、(R_2)并联。根据并联电路的电流、电压规律，我们可以得到：通过(R_1)的电流(I_1)加上通过(R_2)的电流(I_2)，等于干路电流(I)；(R_1)两端电压(U_1)与(R_2)两端电压(U_2)相等，且等于电路的总电压，也就是电源电压(U)。结合欧姆定律，通过(R_1)的电流(I_1 = \frac{U_1}{R_1} = \frac{U}{R_1})，通过(R_2)的电流(I_2 = \frac{U_2}{R_2} = \frac{U}{R_2})。同样，要注意推导过程的规范性，使用下标1、2来区分通过(R_1)、(R_2)的电流，以及(R_1)、(R_2)两端的电压。
在乙图中，根据欧姆定律，电路中的电流(I = \frac{U}{R})。由于甲乙两图电源电压相等，结合以上各式可得(\frac{U}{R} = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2})，消去电压(U)以后，可以得出(\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2})。
同学们，推导出来了吗？通过推导，我们得到了并联电路中的电阻关系：在并联电路中，等效电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和，即(\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2})。同学们想一想，在并联电路中，等效电阻与任意一个并联电阻的大小关系是怎样的呢？由(\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2})可知，(\frac{1}{R} > \frac{1}{R_1})，也就是(R < R_1)。同理可得(R < R_2)。所以在并联电路中，等效电阻比任意一个并联电阻都小。
下面我们再看一个例题2。如图12 - 9所示，把一个(3)欧姆的电阻(R_1)和一个(6)欧姆的电阻(R_2)并联在电路中，它们的等效电阻是多大？如果电源两端电压为(3)伏，则电路中的总电流是多大呢？
根据并联电路中的电阻关系，(\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2})，代入数据可得(\frac{1}{R} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2 + 1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2})，所以(R = 2)欧姆，即(R_1)和(R_2)的等效电阻为(2)欧姆。
那么如何求电路中的电流呢？已知电路的总电压(U)和电路的总电阻(R)，根据欧姆定律(I = \frac{U}{R})，代入数据后可以求出总电流(I = \frac{3}{2} = 1.5)安培。
同学们，通过前面的学习，我们知道串联电路的等效电阻比任何串联电阻都大，并联电路的等效电阻比任何一个并联电阻都小。根据影响电阻大小的因素，请同学们分析电阻的这两种不同连接方式，相当于改变了导体的什么因素呢？影响导体电阻的因素有材料、长度、横截面积。电阻串联相当于增加了导体的长度，所以串联电路的等效电阻比任何串联电阻都大；而电阻并联相当于增大了导体的横截面积，所以并联电路的等效电阻比任何一个并联电阻都小。
接下来我们一起做一些巩固练习，检验一下大家的学习成果。
第一题，就是老师前面说做实验时遇到的难题，现在看看怎么解决。老师想要一个(20)欧姆的电阻，但手边只有两个(10)欧姆和一个(15)欧姆的电阻，如果将两个(10)欧姆的电阻串联起来使用，根据串联电路中的电阻关系，它的总电阻是不是就是(20)欧姆呢？没错，将两个(10)欧姆的电阻串联在电路中使用，等效电阻就是(20)欧姆。
第二题，判断一个电阻是否能等效替代另外两个串联的电阻，主要看（ ）
A. 电路中的电流是否相同
B. 电路两端电压是否相等
C. 在电路两端电压相等时，电路中的电流是否相同
D. 在导体横截面积都相等时，导体的长度是否相同
前面我们说过，在同一个电路中，也就是电路两端电压相等时，用一个电阻(R)代替另外两个电阻(R_1)和(R_2)，如果电路中的电流不变，即电流相同，我们就可以说电阻(R)是(R_1)、(R_2)的等效电阻，所以这道题选C选项，这种方法也叫做等效替代法。
第三题，两个阻值都是(20)欧姆的电阻，串联后总电阻为多少欧姆？并联后总电阻为多少欧姆？根据串联电路的电阻关系，串联电路中总电阻等于各串联电阻之和，所以第一空是(20 + 20 = 40)欧姆。根据并联电路的电阻关系，并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻倒数之和，即(\frac{1}{R} = \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10})，所以并联后的总电阻(R = 10)欧姆。
第四题，已知(R_1 > R_2)，则下列电路图中总电阻最小的是（ ）
A选项电路中只有电阻(R_1)、(R_2)；B选项(R_1)和(R_2)串联；C选项(R_1)、(R_2)并联；D选项电路中只有(R_1)。利用串联电路的等效电阻比任何一个串联电阻都大，并联电路的等效电阻比任何一个并联电阻都小的规律。C选项(R_1)、(R_2)并联，总电阻最小。这些电路图中总电阻最大的是B选项，(R_1)和(R_2)串联时，总电阻最大。所以这道题选C选项。
第5题，如图所示，电路(R_1)和(R_2)串联后总电阻为(150)欧姆，(R_1 = 50)欧姆。闭合开关后电压表的示数为(15)伏。求电流表的示数和(R_2)两端的电压。
看这个电路图，(R_1)、(R_2)串联，电压表测量的是电源两端电压，即电路的总电压(U = 15)伏。根据欧姆定律(I = \frac{U}{R})，可求出电流表的示数(I = \frac{15}{150} = 0.1)安培。
要想求(R_2)两端的电压，根据欧姆定律，需要知道通过(R_2)的电流和(R_2)的电阻。在串联电路中电流处处相等，所以通过(R_2)的电流(I_2)与电流表的示数(I)相等，为(0.1)安培。又因为串联电路中的总电阻等于各串联电阻之和，所以(R_2)的阻值(R_2 = R - R_1 = 150 - 50 = 100)欧姆。代入数据可得(R_2)两端的电压(U_2 = I_2R_2 = 0.1×100 = 10)伏。
第6题，如图所示的电路中，(R_1 = 30)欧姆，(R_2 = 20)欧姆，电流表的示数为(0.3)安培。请计算：（1）电路中的总电阻；（2）电源电压。
看这个电路图，(R_1)、(R_2)并联，电流表测量的是通过(R_2)的电流。根据并联电路中的电阻关系，总电阻的倒数等于各并联电阻倒数之和，即(\frac{1}{R} = \frac{1}{30} + \frac{1}{20} = \frac{2 + 3}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12})，所以电路中的总电阻(R = 12)欧姆。
如何求电源电压呢？因为(R_1)和(R_2)并联，根据并联电路的电压关系，(R_2)两端电压与电源电压相等。结合欧姆定律(U_2 = I_2R_2 = 0.3×20 = 6)伏，所以电源电压为(6)伏。
同学们，我们一起来回忆一下这节课学习的内容。我们学习了串联电路中，等效电阻等于各串联电阻之和，电阻串联相当于增加了导体的长度，所以串联电路的等效电阻比任何一个串联电阻都大；在并联电路中，等效电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和，电阻并联相当于增大了导体的横截面积，所以并联电路的等效电阻比任何一个并联电阻都小。
老师给大家布置了两种作业，一种是基础性作业，另一种是提升性作业。具体内容见作业练习单，请同学们课后下载作业练习单，并根据实际情况完成作业。同学们，这节课就上到这里，再见。